高一数学一元二次不等式解法练习题

一元二次不等式知识梳理1．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅解下列不等式x2－5x＋4≤0x(x＋11)≥3(x＋1)2(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)|x2－3x|＞4(x－3)(x＋2)(x－1)≥03723202xxx≥含参不等式例若＜＜，则不等式－－＜的解是10a1(xa)(x)01a[]AaxBxa．＜＜．＜＜11aaCxaDxxa．＞或＜．＜或＞xaa11例2解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0例3若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．例4关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A.52B.72C.154D.152练习解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R)．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．.考点三不等式恒成立问题【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A．(0，0)B．(－1，1)C．(－1，3)D．(2，－3)3．直线2x＋y－10＝0与不等式组x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个4．(2014·天津卷)设变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为()A．2B．3C．4D．55．(2014·安徽卷)不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A.43，＋∞B．(0，1]C.1，43D．(0，1]∪43，＋∞(2)若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34【训练1】(1)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()A.12B．1C.32D．2(2)在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A．－5B．1C．2D．3考点二简单线性目标函数的最值问题【例2】(1)(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件x＋y－1≥0，x－y－1≤0，x－3y＋3≥0，则z＝x＋2y的最大值为()A．8B．7C．2D．1(2)(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x，y满足约束条件x＋y≥a，x－y≤－1，(3)且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝()A．－5B．3C．－5或3D．5或－3【训练2】(1)(2015·潍坊模拟)若x，y满足条件3x－5y＋6≥0，2x＋3y－15≤0，y≥0，当且仅当x＝y＝3时，z＝ax＋y取最大值，则实数a的取值范围是()A．(－23，35)B．(－∞，－35)∪(23，＋∞)C．(－35，23)D．(－∞，－23)∪(35，＋∞)(2)(2014·湖南卷)若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤4，y≥1，则z＝2x＋y的最大值为________．考点三实际生活中的线性规划问题【例3】某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元微型专题非线性目标函数的最值问题与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义：(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；(2)（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)|Ax＋By＋C|A2＋B2表示点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离；(4)yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率；(5)y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．【例4】实数x，y满足x－y＋1≤0，x＞0，y≤2.(1)若z＝yx，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．基础巩固题组1．(2015·泰安模拟)不等式组y≤－x＋2，y≤x－1，y≥0所表示的平面区域的面积为()A．1B.12C.13D.142．(2014·湖北卷)若变量x，y满足约束条件x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0，则2x＋y的最大值是()A．2B．4C．7D．83．(2013·陕西卷)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为()A．－6B．－2C．0D．24．(2014·大连模拟)在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组y≤1，x＋y－2≥0，x－y－1≤0所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为()A．2B．1C.12D.135．(2015·济南模拟)已知变量x，y满足约束条件x－y≥1，x＋y≥1，1＜x≤a，目标函数z＝x＋2y的最大值为10，则实数a的值为()A．2B.83C．4D．8能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2014·福建卷)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x＋y－7≤0，x－y＋3≥0，y≥0.若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为()A．5B．29C．37D．49解析由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界．∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6，1)处时，amax＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C.答案C12．已知实数x，y满足不等式组x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－1)B．(0，1)C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)解析作出不等式组对应的平面区域BCD，由z＝y－ax，得y＝ax＋z，要使目标函数y＝ax＋z仅在点(1，3)处取最大值，则只需直线y＝ax＋z仅在点B(1，3)处的截距最大，由图象可知a＞kBD，因为kBD＝1，所以a＞1，即a的取值范围是(1，＋∞)．答案D13．(2013·广东卷)给定区域D：x＋4y≥4，x＋y≤4，x≥0.令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0，1)，最大值时点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，点(0，1)与(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)都在直线x＋y＝4上，故T中的点共确定6条不同的直线．答案614．变量x，y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1.(1)设z＝yx，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．解由约束条件x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1.作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．由x＝1，3x＋5y－25＝0，解得A1，225.由x＝1，x－4y＋3＝0，解得C(1，1)．由x－4y＋3＝0，3x＋5y－25＝0，解得B(5，2)．(1)∵z＝yx＝y－0x－0.∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝25.(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.故z的取值范围是[2，29]．(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝（－3－5）2＋（2－2）2＝8.故z的取值范围是[16，64].