钢结构课件.

1.3构件的弯扭屈曲硕研14-2班董悦1.3.1受弯构件（梁）的侧向弯扭屈曲梁的截面一般都作成窄而高的形式，对截面两主轴惯性矩相差很大。如梁跨度中部无侧向支承或侧向支承距离较大，在最大刚度主平面内承受横向荷载或弯矩作用时，荷载达一定数值，梁截面可能产生侧向位移和扭转，导致丧失承载能力，这种现象叫做梁的侧向弯扭屈曲（简称侧扭屈曲）或称梁丧失了整体稳定，此时的横向荷载或弯矩被称为临界荷载或临界弯矩。1.3.1.1双轴对称截面纯弯曲梁的侧扭屈曲MMzyl11yzzd/dzy-z平面内MsinMcoszMxzMu=du/dzox-z平面内A′xyAMcosMMυu1-1x-y平面内取分离体如图，x、y、z为固定坐标，变形后截面沿x、y轴的位移为u、，是对z轴的扭转角。变形前后作用在1-1截面上的弯矩M矢量的方向不变，截面发生位移后的移动坐标为、、。M在、、上的分量为：M=Mcoscos≈MM=Msin≈M(du/dz)=Mu’M=Mcossin=M图示两端简支双轴对称工字形截面纯弯曲梁。现按梁达到临界状态发生微小侧向弯曲和扭转的情况建立平衡方程：(3)GI(2)(1)33t2222dzduMdzdEIdzdMdzudEIMdzvdEIxxyxxyzzd/dzy-z平面内MsinMcoszMxzMu=du/dzox-z平面内以上方程中，由于忽略了构件屈曲前的变形对弯扭屈曲的影响，故式（1）是独立的，它是最大刚度平面的弯曲问题，与梁的弯扭屈曲无关。式（2）和（3）两式联立求解，对（3）式微分一次，并利用式（2）消去，则得到只有未知数的弯扭屈曲微分方程：与轴心压杆弹性弯曲屈曲的挠曲曲线一样，可以认为两端简支梁的扭转角为正弦曲线分布，即：将此和其二阶导数及四阶导数代入式（5）中，得：u(5)02yxtEIMEIEI(6)sinlzC(7)0sin224lzCEIMlGIlEIyt要使上式在任何z值都能成立，必须在方括号中数值为零，即：上式中就是双轴对称工字型截面简支梁纯弯曲时的临界弯矩,称为梁的侧扭屈曲系数。对双轴对称工字形截面梁，故值为：(8)0224ytEIMlGIlEIcrMM(9)122lGIEIGIlEIGIEIlMtyttycr22hIIy)10(121122222tytGIEIlhGIEIl而式中——梁截面侧向刚度；——自由扭转刚度。1.3.1.2横向荷载作用下双轴对称工字形截面梁的侧扭屈曲如梁上作用横向荷载，截面所受弯矩沿梁长度而变化，临界弯矩的计算比较复杂，常用能量法求近似值。理论计算证明，横向荷载作用下的梁，其临界弯矩也可用式（9）来表达，不过式中的值应取表1.1所示数值。tyGIEIlh22yEItGI双轴对称工字型截面简支梁的侧扭屈曲系数值荷载情况值说明荷载作用于形心荷载作用于上、下翼缘表中的“”号：“-”号用于荷载作用在上翼缘；“+”号用于荷载作用于下翼缘2.10135.110113.1)74.19.121(35.1)44.19.111(13.1211.1表结论：①在横向荷载作用于形心的情况下，其临界弯矩都比纯弯曲时高。这是由于纯弯曲时梁所有截面弯矩均达到最大值，而横向荷载作用情况只跨中达到最大；②横向荷载作用于上翼缘比作用于下翼缘的临界弯矩低。这是由于梁一旦扭转，作用于上翼缘的荷载对剪心产生不利的附加扭矩，使梁扭转加剧，助长屈曲；而荷载在下翼缘产生的附加扭矩会减缓梁的扭转。1.3.1.3单轴对称工字形截面梁的侧扭屈曲单轴对称工字形截面简支梁(右图)在不同荷载作用下的一般情况，依弹性稳定理论可导得其临界弯矩的通用计算公式：(11)12223232221EIGIlIIBaBalEIMtyyyycr式中、和——分别为截面侧向抗弯刚度、自由扭转刚度和翘曲刚度；、、——系数，随荷载类型而异，其值见表1.2；——横向荷载作用点至剪切中心S的距离，荷载在剪切中心以上时取负值，反之取正值；——截面不对称特征，其中——剪切中心的纵坐标。和分别为受压翼缘和受拉翼缘对y轴的惯性矩；和为受压翼缘和受拉翼缘形心至整个截面形心的距离。yEItGIEI123ayB022)(21ydAyxyIBAxyyIhIhIy221101I2I1h2h系数值荷载类型跨度中点集中荷载1.350.550.40满跨均布荷载1.130.460.53纯弯曲101123321、、2.1表1.3.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲理想轴心受压直杆的屈曲形态除弯曲屈曲（下图a所示），即假定压杆屈曲时不发生扭转，只是沿主轴弯曲外，对开口薄壁截面构件，在压力作用下有可能在扭转变形或弯扭变形的情况下丧失稳定，出现扭转屈曲和弯扭屈曲（下图b、c所示）。1.3.2.1双轴对称截面轴心压杆的扭转屈曲对某些抗扭刚度较差的轴心受压构件（十字形截面），当轴心压力达到临界值时，稳定平衡状态不再保持而发生微扭转。当轴心力在稍微增加，则扭转变形迅速增大而使构件丧失承载能力，这种现象称为扭转失稳。失稳时除杆件的支撑端外，各截面均绕纵轴扭转，是十字形双轴对称截面可能发生的失稳形式。图示一双轴对称截面杆件。现按梁达到临界状态发生微小扭转变形的情况建立平衡方程：上式中的是由于纵向纤维倾斜时由外力N产生的扭矩。式中r为E点到截面剪切中心的距离。(12)TtMGIEITM(13)zdzdrdEEE点处的微压力在微截面上的横向剪力为：此横向剪力对剪切中心的扭矩为，故全截面的弯矩为式中为截面极惯性矩，其值等于,所以,，称为截面对剪切中心（对双轴对称截面即形心）的极回半径。将代入式（14）中，即得轴心压杆扭转屈曲的平衡微分方程：dA(14)rdAdAdV2rdA）（15202022NiAidArdArMAAz202iAdArAyxIIAIIiyx)(0TM如令,得：其通解为：由边界条件：(16)20NiGIEItEIGINikt202(17)02k321cossinCkzCkzC000z032CC0,032CCkzCsin1又有：上式中的N就是扭转屈曲临界力，用表示：在轴心压杆扭转屈曲的计算中，可采用扭转屈曲临界力与欧拉临界力相等得到换算长度比z，由0lz0sinklklEIGINilkk20222ZN(18)12220lEIGIiNtZAElEIGIiNZtZ2222201得：式中——截面对剪心的极回转半径，对双轴对称截面或；——扭转屈曲的计算长度，对两端铰接、端部截面可自由翘曲或两端嵌固、端部截面翘曲受到完全约束的构件，取。(19)7.25)(2202220ttzIlIAiEGIlIAi0il2220yxiiiyxIIAi20yll0《规范》的柱子曲线例1.1一长为6m,两端铰接且端部截面可自由翘曲的轴心压杆，截面如图所示，试确定此杆件是否由扭转屈曲控制设计。[解]截面面积：惯性矩：回转半径：长细比：-250×6-250×10yyxx22.666.0270.1252cmA43310790)274.242925(121cmIx4326042512121cmIycmicmiyx27.62.662604,77.122.66107907.9527.6600,0.4777.12600yx22222204.20227.677.12cmiiiyx极回转半径：扭转屈曲的换算长细比为：由于，故扭转屈曲承载力大于对y轴的弯曲屈曲承载力。-250×6-250×10yyxx43326.23)6.0271252(325.1cmIt6224746002604284141cmIhIy6.777.2526.236004746004.2022.662zyz1.3.2.2单轴对称截面轴心压杆的弯扭屈曲截面为单轴对称（T形截面）的轴心受压构件绕对称轴失稳时，由于截面形心和剪切中心不重合，在发生弯曲变形的同时必然伴随有扭转变形，这种现象称为弯扭失稳。单轴对称截面绕对称轴屈曲时，杆件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转。弯扭屈曲的轴心压杆，在微弯和微扭状态下，可建立两个平衡方程。（1）绕微弯后的y轴建立弯矩平衡方程（2）绕微弯后的z轴建立扭矩平衡方程杆件弯曲变形后，通过形心的横向剪力V=Nu´对剪心产生扭矩Nu´，为剪力中心至形心的距离，故应在扭转屈曲平衡方程的基础上增加外扭矩Nu´，即有：式中——截面对剪力中心的极回转半径，对单轴对称截面，。）（20)(0auNuEIy0a0a0a(21)020uNaNiGIEIt0i202220aiiiyx对两端铰支且端截面可自由翘曲的弹性杆件，由以上分析知，其挠度和扭角均为正弦曲线分布，即：代入式（20）和式（21）中，得：由于是微变形状态，和不能等于零，故上方两式方括号中数值必然等于零。再令（对y轴的欧拉临界力）；（绕z轴的扭转屈曲临界力）。lzCusin1lzCsin20)(sin20122CNaCNlEIlzy0cos2222010ClEINiGICNalzlt)sin(lz)cos(lz22lEINyEy22201lEIGIiNtZ得：和有非零解得条件是其系数行列式为零，即：得：显然弯扭屈曲临界力小于及，对双轴对称截面，因，得=或，临界力为弯曲屈曲和扭转屈曲临界力的较小者。0)(201CNaCNNEy0)(22010CiNNCNaZ1C2C0)(2000iNNNaNaNNZEy(22)0))((2002iaNMNNNZEycrNEyNZN00acrNEyNZN令式（22）中的，和可以解得单轴对称截面轴心压杆绕对称轴的换算长细比。式中——截面形心至剪心距离；——截面对剪心的极回转半径；——对对称轴的弯曲屈曲长细比；——弯扭屈曲换算长细比，按式（19）求出。22yEyEAN22yzcrEANN22zZEANyz(23)/14212/122202022222zyzyzyyzia0a0iyz例1.2一截面如图所示，为T200×200×8×13的部分T型钢的轴心压杆，长度为3m，两端铰接，端部截面可自由翘曲，试确定其对y轴的长细比。[解]此杆为对y轴为弯扭屈曲，应按式（23）计算其换算长细比。此种截面可令y200×8200×1335.8yxx206.42cmAcmix76.51.6654.4300ycmiy54.4cma58.30。0I43351.20)8.07.183.120(315.1cmIt本例题考虑扭转的长细比为弯曲屈曲长细比的1.14倍。22222061.6654.476.558.3cmi35117.2551.2061.6606.427.25202tzIAi5.7535111.6661.6658.31435111.6635111.66212122222yzy