几何与拓扑剖析

几何与拓扑徐新军几何•小学：计算规则图形的体积、面积和周长，利用直尺和圆规作图•中学：平面几何、解析几何•大学：立体几何、高维的解析几何•更细的分类：欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、分形几何、拓扑学等等•我们大家都比较熟悉的是：平面几何和立体几何，研究研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系几何学范畴•欧氏几何:与生活息息相关,公元前3世纪,欧几里得《几何原本》,平面三角15世纪成形,勾股定理现已经有370多种证明•射影几何:应用于航空航天,射影测绘,由笛沙格帕斯卡1639年开辟,成形于1847彭赛勒位置几何学•解析几何:笛卡尔,费马1637方法论,产生了代数几何•非欧几何:罗巴契夫斯基1826鲍尔1832开创,黎曼1854年关于作为几何学的基础的假设的演讲丰满,1899年Hilbert几何基础成形•微分几何:研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科,法国数学家蒙日1807年《分析在几何学上的应用》最早,1827年，高斯《关于曲面的一般研究》,陈省身去巴黎跟从嘉当微分几何,进而得到陈类,获1984年wolf奖•拓扑学:欧拉开端,庞加莱建立,Hausdoff点集论纲要成形,现在有很多分支,如:代数拓扑,几何拓扑,微分拓扑,低维拓扑等等分形几何,非常漂亮的几何图形,有着令人难以自信的事情:无限长的鉴定闭曲线可以围住有限面积,一条连续曲线可以填满整个平面.Koch曲线于1904和Hilbert曲线(德国数学家DavidHilbert)拓扑•拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。•拓扑学是几何学的一个分支，不考虑图形的大小、形状，而是考虑其在拓扑变换的不变性和不变量等拓扑性质。•在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。下面的三样东西从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。拓扑学的由来•有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了•哥尼斯堡七桥问题•多面体的欧拉定理，只存在五种正多面体（4.6.8.12.20）。•四色猜想，1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里发现,1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。•莫比乌斯带：我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。哥尼斯堡七桥问题四色问题Möbius带Euler示性数1736年欧拉解决七桥问题1976年9月四色问题得到解决哥尼斯堡是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步哥尼斯堡七桥问题一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单,有很有趣的问题吸引了大家.很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确理想的答案还不那么容易哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，Euler示性数对于一个多面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面。那么像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体。欧拉定理告诉我们，简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2。四色问题四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一,四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”数学史上正式提出“四色问题”的时间是在1852年。当时伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答，求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个问题便成为数学界的一个“悬案”。一直到二十年前的1976年9月，《美国数学会通告》正式宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了“四色问题”这个猜想是完全正确的！他们将普通地图的四色问题转化为2000个特殊图的四色问题，然后在电子计算机上计算了足足1200个小时，最后成功地证明了四色问题。Möbius带数学上流传着这样一个故事：先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？“麦比乌斯圈”变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。拓扑的来源“拓扑（Topology）”一次来自希腊文，它的原意是“形状的研究”。拓扑学时几何学的一个分支，它研究在拓扑变换下能够保持不变的几何属性——拓扑属性。拓扑学的形成和发展拓扑学是研究图形在保持连续状态下变形时的那些不变的性质，也成为“橡皮板几何学”。例子：设想一块高质量的橡皮，它的表面是欧几里的平面，这块橡皮可以任意被拉伸、压缩，但是不能够被扭转或折叠。在橡皮的表面上有由结点、弧、环、面组成的可能任意图形。我们对橡皮进行拉伸、压缩，在橡皮进行这些变换的过程中，图形的一些属性消失，一些属性将继续保持存在。设想象皮表面有一个多边形，里面有一个点。当拉伸、压缩橡皮时，点依旧在多边形中，点和多边形的位置关系不会发生变化，但是多边形的面积会发生变化。所以：“点的内置”是拓扑属性，而面积不是拓扑属性，拉伸和压缩就是拓扑变换。在地图上仅用距离和方向参数描述地图上的目标之间的关系总是不圆满的。因为图上两点之间的距离和方向会随着地图投影的不同而发生变化，故仅用距离和方向参数还不能够确切地表示它们之间的空间关系。（如下图）拓扑还是描述目标间关系需要Longitude/Latitude投影Gauss-Krivger投影从上图可以看出，用拓扑关系表示，不论怎么变化，其邻接、关联、包含等关系都不改变。拓扑关系能够从质的方面和整体的概念上反映空间实体的空间结构关系。研究拓扑关系对于地图数据处理和正确显示将是十分重要的。黎曼创立黎曼几何以后把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。拓扑学的发展的促进二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。该方面的华人数学家•姜立夫(1890-1978)姜伯驹(1937-)1980年院士•江泽涵(1902-1994)南开大学，哈佛大学：拓扑学研究开拓者•严志达(1917–1999)1940与陈省身就合作过49年法国博士,1993院士•陈省身:(1911-2004)获1984年wolf奖,15岁入南开理学院,因物理实验做砸了,转读数学,与杨振宁类似.陈和杨都自认为是姜立夫的学生.比华罗庚早一年入清华园（1910—1985）•丘成桐(1949-):1983菲尔兹奖(40岁下,诺贝尔),1994克雷福特奖(填补诺贝尔奖的缺失),2010年沃尔夫奖(终身成就将)拓扑学的分支•点集拓扑学：偏重于用分析的方法来研的，或叫做分析拓扑学•代数拓扑学：偏重于用代数方法来研究•1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。•我们介绍的是点集拓扑，是数学的基础，在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程、概率论等其他许多数学分支中有广泛的应用一、拓扑空间及基本概念度量空间有了开集的概念，就可以定义闭集、映射的连续等等概念•例如一维欧式空间中的整个实数轴是既开又闭的集合，[0,1)是既不开又不闭的•拓扑空间也有邻域、闭包、内部、边界、聚点等概念子空间基、子基、局部基二、连续映射•连续映射的等价命题•连续映射的构造或验证映射的连续性•利用映射来构造性的拓扑空间，回避繁杂的描述性语言收敛性,连续性的刻画积空间和商空间三、基本的拓扑性质•可数性,可分性•分离性•连通性•紧(紧致)性•完备性•一些更深奥的概念：基本群、同伦群、同调群、拓扑度、亏格，等等就不说了拓扑空间的可数性1122,,CACA:不同拓扑书中记号有所不同注记拓扑空间的可分性下面是两个无处稠密的完全集合的例子Cantor集广义的cantor集Sierpinski地毯拓扑空间的分离性Urysohn引理和Tietze定理紧性连通性流形与函数空间对函数空间的研究,是泛函分析的主要内容之一