闭环系统辨识

闭环系统辨识闭环系统辨识•前述辨识方法都是针对开环状态进行•一些实际运行的工业过程不能轻易切断反馈回路•自适应控制系统中，从原则上要求辨识在闭环状态下进行•有些系统本身存在着内在的、固有的反馈，如经济系统•…研究闭环系统辨识的必要性：闭环系统辨识闭环系统辨识遇到的新问题：输入输出数据提供的有关系统动态特性的信息变少噪声与输入信号通过反馈相关闭环系统前向通道模型的阶次不可辨识开环辨识方法不能直接应用闭环系统辨识问题描述可辨识性辨识方法仿真算例闭环辨识问题𝑢𝑘、zk为系统输入输出变量𝐺(𝑧−1)为前向通道模型𝑅(𝑧−1)为反馈通道模型𝐻v𝑧−1、𝐻𝜔𝑧−1为前向通道和反馈通道的噪声模型𝑣𝑘、𝜔(𝑘)为前向通道和反馈通道噪声，零均值、方差分别为𝜎v2和𝜎𝜔2、互不相关的白噪声r𝑘为控制给定信号闭环辨识问题系统模型和噪声模型结构：其中𝑑≥0和𝑐≥0为延迟步数。各延迟因子多项式：闭环辨识目标：在一定的准则函数意义下，利用系统的输入输出序列，辨识𝜃F和𝜃𝐵闭环系统可辨识性举个例子：𝑧𝑘+𝑎𝑧𝑘−1=𝑏𝑢𝑘−1+𝑣(𝑘)𝑢𝑘=𝑞𝑧(𝑘)前向通道模型参数向量𝜃=𝑎,𝑏𝑇准则函数取为𝐽𝜃=𝑧𝑘+𝑎𝑧𝑘−1−𝑏𝑢(𝑘−1)2𝐿𝑘=1由于反馈存在，对所有的非零𝛼都有𝛼𝑢𝑘=𝛼𝑞𝑧(𝑘)因此𝐽𝜃+𝛼=𝑧𝑘+𝑎+𝛼𝑧𝑘−1−(𝑏+𝛼)𝑢(𝑘−1)2𝐿𝑘=1得到𝜃+𝛼固定但是𝛼为任意非零常数所以𝜃的估计值不唯一首先不是所有的闭环系统都能辨识比例反馈闭环系统可辨识性——前向通道对一个闭环系统来说如果反馈通道模型参数未知系统输入输出𝑢𝑘、zk可测当反馈通道噪声𝜔𝑘=0时前向通道模型可以写成𝐴𝑧−1𝑧𝑘=𝑧−𝑑𝐵𝑧−1𝑢𝑘+𝐷𝑧−1𝑣(𝑘)前向通道模型参数和数据向量为闭环系统可辨识性——前向通道前向通道噪声估计式𝑣𝑘=𝑧𝑘−𝒉𝐹𝑇(𝑘)𝜽𝐹(𝑘−1)使用开环辨识方法对上式进行辨识的先决条件：数据向量𝒉𝐹(𝑘)的组成元素必须是线性独立的闭环状态下，𝒉𝐹(𝑘)可能出现相关的元素只有𝑢𝑘−𝑑对反馈通道有：𝑢𝑘−𝑑=−𝑝1𝑢𝑘−𝑑−1−⋯−𝑝𝑛𝑝𝑢𝑘−𝑑−𝑛𝑝−𝑞0𝑧𝑘−𝑑−𝑐−⋯−𝑞𝑛𝑞𝑧𝑘−𝑑−𝑐−𝑛𝑞如果𝑛𝑏≥𝑛𝑝且𝑛𝑎≥𝑛𝑞+𝑑+𝑐则𝑢𝑘−𝑑是𝒉𝐹(𝑘)中元素−𝑧𝑘−1,⋯,−𝑧(𝑘−𝑛𝑎)和𝑢𝑘−𝑑,𝑢𝑘−𝑑−1,⋯,𝑢(𝑘−𝑑−𝑛𝑏)的线性组合破坏了𝒉𝐹(𝑘)各个元素的独立性闭环系统可辨识性——前向通道因此，当𝑛𝑝≥𝑛𝑏+1或𝑛𝑞≥𝑛𝑎+1−𝑑+𝑐𝒉𝐹(𝑘)所有元素独立前向通道模型可以用开环辨识方法进行辨识此外，当反馈通道模型参数已知且𝜔𝑘=0时只利用系统的输出数据序列zk，采用开环辨识方法也可以得到前向通道的模型参数估计其可辨识性条件和反馈通道参数未知时条件相同，均为𝑛𝑝≥𝑛𝑏+1或𝑛𝑞≥𝑛𝑎+1−𝑑+𝑐证明略。若𝜔𝑘≠0，如果𝜔𝑘能提供“足够信息”，即具有足够阶次的持续激励信号则闭环系统前向通道也可以进行辨识闭环系统可辨识性——反馈通道闭环系统前向通道与反馈通道具有对等性其可辨识条件与前向通道相似前向通道的模型阶次高于反馈通道的模型阶次（注意和前向通道相反）反馈通道或前向通道存在的延迟对反馈通道模型的可辨识性有利或者前向通道具有足够阶次的持续激励信号反馈通道才可以进行辨识闭环系统可辨识性——总结闭环系统辨识方法——最小二乘回路控制给定信号𝑟𝑘=0前向通道噪声模型𝐻v𝑧−1=1𝐴(𝑧−1)反馈通道噪声模型𝐻𝜔𝑧−1=1𝑃(𝑧−1)则前向通道模型𝑧𝑘=−𝑎𝑖𝑧𝑘−𝑖+𝑏𝑖𝑢𝑘−𝑖−𝑑+𝑣(𝑘)𝑛𝑏𝑖=0𝑛𝑎𝑖=1反馈通道模型𝑢𝑘=−𝑝𝑖𝑢𝑘−𝑖+𝑞𝑖𝑧𝑘−𝑖−𝑐+𝜔(𝑘)𝑛𝑞𝑖=0𝑛𝑝𝑖=1其中，𝑣𝑘~Ν0,𝜎𝑣2,𝜔𝑘~Ν0,𝜎𝜔2白噪声且互不相关𝑑≥0,𝑐≥0是前向通道和反馈通道的延迟闭环系统辨识方法——最小二乘前向通道参数向量𝜃𝐹、数据向量ℎ𝐹𝑘反馈通道参数向量𝜃𝐵、数据向量ℎ𝐵𝑘如下所示前向通道和反馈通道模型的最小二乘格式可写成闭环系统辨识方法——最小二乘在满足闭环系统可辨识性条件前提下利用典型的最小二乘递推辨识算法进行求解反馈通道和前向通道类似其估计值唯一且一致收敛（可证明）闭环系统辨识方法——算例考虑如下闭环系统前向通道模型𝑧𝑘=1.45𝑧𝑘−1−0.65𝑧𝑘−2+1.10𝑢𝑘−1−0.70𝑢𝑘−2+𝜆𝑣𝑣(𝑘)其中𝑢𝑘和𝑧𝑘为模型输入输出，𝑣𝑘~Ν0,𝜎𝑣2白噪声，标准差𝜆𝑣=0.4结构参数为𝑛𝑎=2,𝑛𝑏=1,𝑑=1反馈通道模型𝑢𝑘=1.35𝑢𝑘−1−0.35𝑢𝑘−2−0.65𝑧𝑘+0.45𝑧𝑘−1−0.10𝑧𝑘−2+𝜆𝜔𝜔(𝑘)其中𝜔𝑘~Ν0,𝜎𝜔2为白噪声，标准差𝜆𝜔=0.4结构参数为𝑛𝑝=2,𝑛𝑞=2,𝑐=0问题描述闭环系统辨识方法——算例由于𝑣𝑘≠0且𝜔𝑘≠0上述闭环系统前向通道和反馈通道均可进行辨识利用典型最小二乘递推算法辨识可辨识性闭环系统辨识方法——算例𝒂𝟏𝒂𝟐𝒃𝟏𝒃𝟐真值-1.450.651.10-0.70估计值-1.46210.68011.0908-0.7168前向通道辨识结果辨识结果反馈通道辨识结果𝒑𝟏𝒑𝟐𝒒𝟎𝒒𝟏𝒒𝟐真值-1.350.350.65-0.450.10估计值-1.36270.34610.6582-0.47900.1224（递推1500步）闭环系统辨识方法——算例估计值变化过程闭环系统辨识方法——算例前面研究了𝑣𝑘和𝜔𝑘均不为零的情况当𝜔𝑘=0时，由于𝑛𝑝=2，𝑛𝑏=1，满足拓展分析因此对前向通道单独进行辨识𝒂𝟏𝒂𝟐𝒃𝟏𝒃𝟐真值-1.450.651.10-0.70估计值-1.41300.64211.0680-0.6799前向通道辨识结果（𝜔𝑘=0）闭环系统辨识方法——算例但是不能每次都准确估计因为该模型𝑛𝑝=2,𝑛𝑏=1𝑛𝑝=𝑛𝑏+1与𝑛𝑝太小有关？闭环系统辨识方法——算例当𝑣𝑘=0时，由于𝑛𝑎=2，𝑛𝑏=1，𝑛𝑝=2，𝑛𝑞=2，𝑐=0，𝑑=1不满足因此无法对反馈通道进行辨识反馈通道辨识结果（𝑣𝑘=0）𝒑𝟏𝒑𝟐𝒒𝟎𝒒𝟏𝒒𝟐真值-1.350.350.65-0.450.10估计值-0.7177-0.10700.08770.4191-0.2997闭环系统辨识方法——算例偏离很大不能估计问题1.使用开环辨识方法时，𝒉𝐹(𝑘)中的为什么要求线性无关？2.当𝜔𝑘≠0，如果𝜔𝑘能提供“足够信息”，则闭环系统也能辨识，需要如何理解足够信息欢迎老师同学批评指正谢谢！