重庆科创职业学院教案(11.3交错级数的敛散性判别)

重庆科创职业学院授课教案课名：高等数学（下）教研窒：高等数学教研室班级：编写时间：课题：交错级数教学目的及要求：会用莱布尼茨定理判定交错级数的敛散性。教学重点：绝对收敛与条件收敛的概念。教学难点：绝对收敛与条件收敛的概念。教学步骤及内容：复习：1、级数收敛的充分必要条件：1nnu收敛nS极限存在；2、极限存在的准则Ⅱ：单调有界数列必有极限。新课：1.交错级数：一个级数的各项如果是正负相间的就叫做交错级数．若0nu（0nu也一样）3,2,1n，则nnuuuuu14321)1(就是一个交错级数．2.交错级数收敛判别法定理1（莱布尼兹准则）若交错级数11)1(nnnu满足条件：0)(nui1)(nnuuii0lim)(nnuiii，则级数11)1(nnnu收敛，且111)1(0uunnn.其余项满足1nnru.证先证前n2项的和nS2的极限存在，}{)(...)()(221243212nnnnSuuuuuuS（括号非负）又1221222543212)()()(uSuuuuuuuuSnnnnn12limuSSnn(条件)(i，)(ii)SuSSnnnnn)(limlim12212（条件)(iii）故1limuSSnn.旁批栏：例1证明交错级数nn1)1(41312111收敛证01nun，),2,1(1111nunnunn及01limlimnunnn.由莱氏判别法，知111)1(nnn收敛，且其和1S，如果取前n项的和，nSnn1)1(...312111，作为S的近似值，产生的误差)(111nnun.例2判别交错级数11(1)10nnnn的敛散性.解易证111010nnnn，且lim010nnn.由莱氏判别法知原级数收敛。3.绝对收敛与条件收敛每一个任意项级数的各项都换为它的绝对值，那就对应地有一个正项级数，该正项级数与任意项级数的收敛性有下面定理所述的关系．1）条件收敛与绝对收敛定义若1nnu收敛，则称1nnu是绝对收敛的；如果1nnu收敛而1nnu发散，则称1nnu是条件收敛的．2）条件收敛与绝对收敛的关系定理2若1nnu收敛，则1nnu也收敛证令)(21nnnuuv，则0nv，即1nnv是正项级数，nnuv而1nnu收敛，从而12nnv收敛，又nnnuuv2，由基本性质，知1nnu收敛．必须指出，此定理的逆定理不成立．但定理的作用仍是巨大的.一般说来，1nnu发散，不一定有1nnu发散.但可以用比值审敛法或根值审敛法根据1lim1nnnuu或lim1nnnu判定级数1nnu，则可以断定级数1nnu必定发散.这是因为此时，级数收敛的必要条件lim0nnu不能满足.如级数111)1(nnn是条件收敛的．旁批栏：3判定级数nnn211)1(2131212121132是绝对收敛还是条件收敛还是发散？解∵121211lim2112111limlim11nnnnuunnnnnnn∴原给的级数是绝对收敛的．小结与思考:小结：1．交错级数有莱氏判别法；任意项级数有绝对值判别法.思考题：1.判定一个级数是否收敛，有哪几种方法?2.下列级数中，哪一个级数是绝对收敛的？A.111(1)3nnnnB.111(1)nnnC.111(1)ln(1)nnnD.2112(1)!nnnn.解：级数A绝对收敛．因11311limlim13nnnnunun，由比较审敛法知级数111(1)3nnnn收敛．作业：旁批栏：