重视案例分析推进教学研究

南京外国语学校陈光立点P(2,5)到直线l的距离d=_____.512)25895)2522(PQ22(||d则直线l的方程为________________.已知直线l经过点R(2,1)和S(-1,5),3x4y+14=0512则l1的方程为______________.过点P(2,5)作直线l1⊥l，设l、l1交于Q,由4x+3y11=03x4y+14=04x+3y11=0)2589252Q(,得:3(x-2)-4(y-5)=0点到直线的距离（课堂教学实录）问题已知：点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0求点P到直线l的距离.[分析1]过点P作l1⊥l，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l的距离.依题意l1:Bx-Ay-Bx0+Ay0=0Ax+By+C=0Bx-Ay-Bx0+Ay0=0Q(x,y)满足:2200BABCByABxy22002BAACAByxBx22000BACByAxAxx)(22000BACByAxByy)(220022200222002020])(])()()PQBA|CByAx|BACByAxBBACByAxAyyxx(||[[结论点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为:2200BA|CByAx|dA(x-x0)+B(y-y0)=-Ax0-By0-C-------①B(x-x0)–A(y-y0)=0-------------②Ax+By+C=0Bx-Ay-Bx0+Ay0=0Q(x,y)满足:换个角度思考重新构造方程22002020)()(PQBA|CByAx|yyxx||d①2+②2：(A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]=(Ax0+By0+C)2[分析2]设M(x,y)是直线l上的一个动点,则P到直线l的距离就是|PM|的最小值.20202)()(PMyyxx||2220022000022022022222200222020202222)(2224])2([)2(4|PMBACByAxBABCyyABxACxCyBxABBABACAByxBBCBCyyxBBA|min2200PMBA|CByAx|||dmin2020)()(yBCAxxx2202020200222222)(2BCBCyyxxBACAByxBxBBA2220022200222002222220202020022222202020202)()()(2)(2)()()()(PMBACByAxBACByAxBAACAByxB-xBBABCBCyyxxBACAByxBxBBAyBCAxxxyyxx||222002)(|PMBACByAx|min2200PMBA|CByAx|||dmin刚才你在计算时画图了吗?|PS|=3，|PR|=4，|RS|=5512|RS||PR||PS|d充分挖掘潜在的几何条件已知直线l经过点R(2,1)和S(-1,5),则直线l的方程为4x+3y-11=0.点P(2,5)垂直于l的方程为3x-4y+14=0，点P(2,5)到直线l的距离d=.5125-5-55PQSR[分析3]当A.B≠0时,直线l与x轴、y轴都相交.过P分别作x轴、y轴的平行线,交直线l于S、R两点,则Rt△PRS中斜边RS上的高PQ的长就是P到直线l的距离.|ACByAx||xx|||0010PS|BCByAx||yy|||0020PR|CByAx||AB|BA||002222PRPSRS2200|RS||PS||PR|PQBA|CByAx|||d由P(x0,y0)及l:Ax+By+C=0设S(x1,y0),R(x0,y2),则BCAxy02ACByx01得:Ax1+By0+C=0Ax0+By2+C=0当A=0或B=0时仍适用1.当P(x0,y0)在直线l:Ax+By+C=0上时,d=0.2.当A=0或B=0时,公式也适用.但可以直接求距离.结论点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为:2200BA|CByAx|d另有分析4，有兴趣的可课后探索（见后）例1.求点P(-1,2)到下列直线的距离:⑴2x+y–10=0⑵3x=2解:⑴5251012|10-21(-1)222|d35|(-1)32|d⑵因为直线3x=2平行于y轴,所以练习2A(-2,3)到直线3x+4y+3=0的距离为_____.B(-3,5)到直线2y+8=0的距离为______.9591320练习1求原点到下列直线的距离：(1)3x+2y-26=0(2)y=x例2.求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上取P(3,0),则P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.5353145314(-7)28073222||d猜想两条平行线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0的距离公式是什么?2221BA|CC|d例4.边长为4的正方形中心为Q(1,-1),一边的斜率为,求正方形各边所在直线的方程.3例3.在抛物线y=4x2上求一点P,使P到直线l:y=4x-5的距离最短,并求出这个最短距离.解:依题意设P(x,4x2),则P到直线l:4x-y-5=0的距离为174)1(2175441454)1(42002022200-x|xx||xx|d17174.1)21(P210有最小值时点坐标为即当d,x作业：P54/13、14、15、16.)(00BCAx,xR|BCByAx|||00PR-55105-5QαPSRθ-55105-5QαPSRθ22211BA|B|tancos.BA|CByAx|BA|B||B||CByAx|cos|PR||PQ|22002200tan2α=tan2θ=22BA(α90°)如图Rt△PR中,|PQ|=|PR|cosα[分析4]α=θ或α=180°－θ(θ是倾斜角)教师提供知识背景，创设问题情境，让学生从不同的角度分析比较,寻求计算点到直线距离的方法,从按常规思路“求交点算距离”、到观察动画从变化的角度构造函数求“极值”，再挖掘几何条件“形数结合”，在直角三角形中求解。通过特殊到一般的运算,由具体到抽象，探索得到点到直线的距离公式。教师参与讨论并适时点拨，师生互动，学生在获取知识的同时，得到一次有益的思维训练，有利于能力的提高。