量子力学导论第9章答案

1第九章力学量本征值问题的代数解法9—1）在8.2节式（21）中给出了自旋（21）与轨迹角动量（l）耦合成总角动量j的波函数jljm，这相当于21,21sjlj的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a）中的CG系数jmmmj21121解：8.2节式（21a）（21b）:21),0(21mmlljjjljm11121lmlmYmlYmll21,2121,212121,21jjmjjmjjYmjYmjjmjmlj（21a）21jljljm11121lmlmYmlYmll21,2121,211122121),0(21jjmjjmjjYmjYmjjmjmllj（21b）21jl此二式中的l相当于CG系数中的1j，而212sj,21,~,,~21mmmmj。因此，（21a）式可重写为jm222112211mjmmjmjmjmj212121212121212111111111mjjmmjmjjmmj212112212121122111211111211121121),21(mjjmjmjjmjjlja（21a’）对照CG系数表，可知：当21121jjjj,212m时，21111112212121＋jmjjmmj而212m时，221111112212121＋jmjjmmj对于21211jlj的（21b）式，有21111111221,212121＋jmjmjmj21111111221,212121＋jmjmjmj9－2）设两个全同粒子角动量21jjj，耦合成总角动量J，JMj221212121jmjmmmJMmjjm（1）利用CG系数的对称性，证明JMjJjJMjp22212由此证明，无论是Bose子或Fermi子，J都必须取偶数证：由式（1），JMjp21212212121jmjmmmJMjmjm把21mm,12122112jmjmmmJMjmjm利用CG系数的对称性21212112212jmjmmmJjJMmjmjJMjJj22(2)对于Fermi子，j半奇数，j2奇数，但要求12p，即要求12Jj，所以J必须为偶数。12maxjJ，（jJ2max情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此0,2,32,12jjJ可验证：态JMj2的总数为12jj。[1212120jjJjJ]。对于Bose子，j整数，j2偶数，但要求12p即12Jj，故J也必须为偶数0,2,22,2jjJ9－3）设原子中有两个价电子，处于nlE能级上，按LS耦合方案，LLL21，sss21，JsL（总3角动量）证明：（a）sL必为偶数；（b）sLsLJ,,。当0s时，LJ（偶）；1s时，1,,1LLLJ，J可以为奇，也可以为偶。证：自旋的耦合：2121ss，).(0).(1反对称，单态对称，三重态s轨迹角动量的耦合：lll21，.0,1,,12,2llL其中L偶是对称态，L奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以0s时，.0,,22,2llL1s时，.1,,12,2llL在两种情况下，sL都为偶数，但sLsLJ,,对于0s，LJ偶；1s，1,,1LLLJ。J可以为奇，也可以为偶［讨论本题结论与题9－2有无矛盾？（按jj耦合方案，似乎J必为偶数）。提示：在本题中，若用jj耦合来分析，j？是否只有一个j值？两种耦合方案得出的态数是否相等？］9－4）大小相等的两个角动量耦合成角动量为0的态00jj，证明zzjj21jjj,,1,的几率却相等，即121j。提示：利用1200jmjmjmj（P235，式（23））证：Dirac符号表示，有00jjJMjj2100jj，JMJMjj21122112211mJMmjmjmjmj（1）在本题的情况下，jjj21，0MJ，mmm令21。则（1）成为00jjmmjmjmjmj00（2）其中00mjmj即为耦合表象中的态00jj用无耦合表象基矢展开时的展开式系数—CG系数，其模即表示体系处于00jj态时，测得zj1取值m（同时zJ2取值m，m取jjj,,1,各可能值）的几率。由提示，1200jmjmjmj（3）4121002jmjmj（4）即，对于给定的jjj21所合成的态00jj，zzjj21jjj,,1,的几率与m的具体取值无关，皆为121j。9－5）设JJJ21，在jmjj21态下，证明（取1）02211yxyxjjjj，1211122111jjjjjjjjmjz1211111222jjjjjjjjmjzzjm1证：（参剖析，8.68等）9－6）在zLL,2表象(以为lm基矢)中，1l的子空间的维数为3，求xL在此三维空间中的矩阵表示，再利用矩阵方法求出xL的本征值和本征态解：在zLL,2表象中，1l的子空间中的基矢为lmm1，1,0,1m。由于11mjmjmjjmJmjmjjmJmjx1211mjmjjmJmjx1211121JJJx。对于本题，以上方式中lj，xxLJ，LJ，zzLJ不难求得01111110011'xxxxxmmxLLLLLL2210011010xxxxLLLL。xL在此三维空间中的矩阵表示为［zLL,2表象］501010101022xL（1）设xL的本征值为1，本征矢为cba，则本征方程为02102121021cba（2）此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零，由此可解得本征值：,0121,0,1.（3）将1代入（2），可得02ba，022cba，02cb。由此得2bca，1212bcba归一化112122b，取21b。1212111~（4）同理，将1,0分别代入（2），可求得1212120~；1212131~。6