量子力学期中考试试题

量子力学期中考试试题物理常数：光速：812.99810cms；普朗克常数：346.62610hJs；玻尔兹曼常数：231.38110/BkJK；电子质量：319.10910emkg；碳原子质量：26122.00710Cmukg；电子电荷：191.60210eC一、填空题：1、量子力学的基本特征是。2、波函数的性质是。3、1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布洛意关系：；假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：（保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。计算1K时，60C团簇（由60个C原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_______________（保留2位有效数字）。4.一粒子用波函数(,)rt描写,则在某个区域dV内找到粒子的几率为。5、线性谐振子的零点能为。6、厄密算符的本征值必为。7、氢原子能级n5的简并度为。8、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是。9、测不准关系反映了微观粒子的。10.等人的实验验证了德布罗意波的存在。11.通常把称为束缚态。12.波函数满足的三个基本条件是：。13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为：14．两力学量对易的说明：。15.坐标与动量的不确定关系是：。16.氢原子的本征函数一般可以写为：。17.何谓定态：。1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。2.简并、简并度。3.用球坐标表示，粒子波函数表为,,r，写出粒子在立体角d中被测到的几率。4.用球坐标表示，粒子波函数表为,,r，写出粒子在球壳drrr,中被测到的几率。5.一粒子的波函数为zyxr,,，写出粒子位于dxxx~间的几率。6.写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。7.写出三维无限深势阱其余区域,0,0,0,0),,(czbyaxzyxV中粒子的能级和波函数。8.一质量为的粒子在一维无限深方势阱axxaxxV2,0,20,0)(中运动，写出其状态波函数和能级表达式。9.何谓几率流密度？写出几率流密度）（trj,的表达式。10.写出在z表象中的泡利矩阵。11.电子自旋假设的两个要点。12.）（zLL,2的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？13.写出电子自旋zs的二本征态和本征值。14.给出如下对易关系：?,?,?,?,?,?,2yzyxxzyxyssLLLLpzpy16.完全描述电子运动的旋量波函数为)2/,()2/,(),(rrsrz，准确叙述2)2/,(r及23)2/,(rrd分别表示什么样的物理意义。18.何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？21.使用定态微扰论时，对哈密顿量H有什么样的要求？22.写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。23.量子力学中，体系的任意态)(x可用一组力学量完全集的共同本征态)(xn展开：nnnxcx)()(，写出展开式系数nc的表达式。24.一维运动中，哈密顿量)(xVmpH，求?,?,HpHx25.什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。26.什么样的状态是定态，其性质是什么？27.简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量xpˆ之间的测不准关系。28.厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？29.全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。二、计算题：1、利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。已知外磁场T10B，玻尔磁子123TJ10923.0B，求动能的量子化间隔E，并与K4T及K100T的热运动能量相比较。2..证明在定态中，几率流与时间无关。3.一粒子在一维势场axaxxxU，，，000)(中运动，（1）求粒子的能级和对应的波函数。（2）若已知0t时，该粒子状态为：121,0()()2xxx，求t时刻该粒子的波函数；（3）求t时刻测量到粒子的能量分别为1E和2E的几率是多少？（4）求t时刻粒子的平均能量E和平均位置x。4.一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是ILH22，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：(1)转子绕一固定轴转动：(2)转子绕一固定点转动：5.设t=0时，粒子的状态为]cos[sin)(212kxkxAx求此时粒子的平均动量和平均动能。6.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数)()(xaAxx描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。7.设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021YrRYrRr求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。（一）.已知厄密算符BAˆ,ˆ，满足1ˆˆ22BA，且0ˆˆˆˆABBA，求1、在A表象中算符Aˆ、Bˆ的矩阵表示；2、在B表象中算符Aˆ的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。（二）.设氢原子在0t时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021YrRYrRYrRr，求1、0t时氢原子的E、2Lˆ和zLˆ的取值几率和平均值；2、0t时体系的波函数，并给出此时体系的E、2Lˆ和zLˆ的取值几率和平均值。（六）、当为一小量时，利用微扰论求矩阵2330322021的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。（十）、在zSˆ表象中，求自旋算符Sˆ在}cos,cos,{cosn方向投影算符cosˆcosˆcosˆˆˆzyxnSSSnSS的本征值和相应的本征态。（十四）、有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.（十五）、试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(xmxV]（十八）、在zˆ表象中，求xˆ的本征态