量子力学测试题2010参考答案

1量子力学测试题2010参考答案1、一质量为m的粒子沿x正方向以能量E向x=0处势垒运动。当0x时，势能为零；当0x时，势能为EV430。问在x=0处粒子被反射的几率多大？解：S-eq为000022221211xkxk其中221/2mEk4//)(2212022kVEmk由题意知0x区域既有入射波，又有反射波；0x区域仅有透射波故方程的解为xikxikree1110xxikte220x在x=0处，及都连续，得到tr1tkrk2)1(11由此解得912rR注意透射率2tT因为12kk将xike1，xikre1，xikte2分别代入几率流密度公式**2xxmij得入射粒子流密度mkj10反射粒子流密度21rmkjR透射粒子流密度22tmkjT由此得反射率9120rjjRR透射率982120tkkjjTT1TR2、计算（1）?],[2rL（2）设),(pxF是px,的整函数，则?],[Fp解：（1）0],[],[],[],[2xxixxixxLxLxxxLrL因为将第二项哑标作更换xxixxixxi所以0],[2rL2（2）先由归纳法证明nnnxxinxixp1],[（·）式1n上式显然成立；设kn时上式成立，即1],[kkkxixp则kkkkkkxkixikxixpxxxpxp)1(],[],[],[1显然，1kn时上式也成立，（·）式得证。因为0,),(nmnmmnpxCpxF则FxipmxCipxpCpxpCFpnmnmnmnmmnnmmnnmmn,,,1],[],[],[3、试在氢原子的能量本征态nlm下，计算1r和2r的平均值。解：处于束缚态nlm下的氢原子的能量22224122naeneEn22ea1lnnr（1）计算1r方法1相应的维里定理为nlmnlmVT21nlmnVE21所以22112aneErn方法2选Z为参量相应的F-H定理nlmneHeE22reH2222nlmran112211anr（2）计算2r等效的一维哈密顿量2222222)1(2rllredrdH取l为参量相应的F-H定理nlmlnlHlE注意1lnnr22322)12(rlane322)2/1(1nalr4、有一个二能级体系，哈密顿量为HHH0，0H和微扰算符H的矩阵表示为321000EEH0110H其中表征微扰强度，21EE。用微扰法求H的本征值和本征态。解：由于是对角化的，可见选用表象为0H表象对于21EE，由非简并微扰论计算公式)0()0()0()0()0()0(2)0(||mmnmnmnnmnnmmnnnnEEHEEHHEE得0)1(1E212)0(2)0(1212)2(1EEEEHE1021)0(2)0(2)0(121)1(1EEEEH0)1(2E122)0(1)0(2212)2(2EEEEHE0112)0(1)0(1)0(212)1(2EEEEH所以，二级近似能量和一级近似态矢为2121EEE，100121EE；1222EEE，011021EE。对于21EE，由简并微扰论计算得一级近似能量和零级近似态矢为1E，1121；1E，1121。5、自旋投影算符nSn2，为泡利矩阵，n为单位矢量（cos,sinsin,cossin）。（1）对电子自旋向上态)2/(zs，求nS的可能值及相应几率；（2）对n的本征值为1的本征态，求y的可能值及相应几率。解：（1）由cossinsincos2iineeSbambaeesiicossinsincos2得ines2sin2cos)(21ines2cos2sin)(21对于电子自旋向上态01)2/(zs，nS取值2的几率分别为42cos012sin2cos22221ie2sin012cos2sin22221ie（2）y的本征值和本征态1，iy121)(；1，iy121)(电子处于n的本征值为1的本征态(即nS的本征值为2的本征态)(21ns)，则y的可能值及相应几率为1)sinsin1(212sin2cos121)()(2221inyei1)sinsin1(212sin2cos121)()(2221inyei6、设质量为m的两个全同粒子作一维运动，它们之间的相互作用能为)0()(21221axxa。（1）若粒子自旋为0，写出它们的相对运动态的能量和波函数；（2）若粒子自旋2/1s，写出它们的相对运动基态及第一激发态的能量和波函数。解：体系的哈密顿量为22122222122)(2122xxaxmxmH引入质心坐标X和相对坐标x：)(2121xxX21xxx在坐标变换xXxx,,21下，体系的哈密顿量变为22222222122axxXMH2/2mmM相对运动哈密顿量为222222222212212xdxdaxdxdHra（1）若粒子自旋为0，则相对运动态的能量和波函数为521nEn)()(2221xHeNxnxnn,4,2,0n限定,4,2,0n是为了保证波函数对交换1x和2x是对称的。（2）若粒子自旋2/1s，则相对运动态的能量和波函数为21nEn,2,1,0n00|)(),(2221xHeNSxnxnz,4,2,0n11|10|11|)(),(2221xHeNSxnxnz,5,3,1n其中)]1()2()2()1([2110|)2()1(11|)]1()2()2()1([2100|)2()1(11|体系基态能量和波函数21E00|),(22210xzeNSx体系第一激发态能量和波函数23E11|10|11|)(),(121122xHeNSxxz