量子物理作业答案

量子力学导论作业File2~file51.热辐射的峰值波长与辐射体温度之间的关系被维恩位移定律：bTm表示，其中Kmb3108978.2。求人体热辐射的峰值波长（设体温为37）。解：由定律bTm可得：mmTtbTbom631035.927337108978.2即，人体热辐射的峰值波长为9350nm。2.宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于T=2.726K黑体辐射。此辐射的峰值波长是多少？在什么波段？解:根据维恩位移定律bTm，得：mmTbm331006.1726.2108978.2即该辐射峰值波长为1.06mm，属于红外波段。3.波长=0.01nm的X射线光子与静止的电子发生碰撞。在与入射方向垂直的方向上观察时，散射X射线的波长为多大？碰撞后电子获得的能量是多少eV?解：依题意，在垂直方向观察时散射角，90由波长改变量公式cos100cmh，得散射后X射线波长：m98313490100124.0)90cos1(103101.91063.61001.0X射线损失的能量等于电子增加的动能)0124.0101.01(1011031063.698340hchcEEXeeVJEe415104.21085.3所以，散射X射线波长为0.0124nm，电子获得能量为eV4104.24.在一束电子束中，单电子的动能为E=20eV，求此电子的德布罗意波长。解：电子动能较小，固忽略其相对论效应，所以由221mvE，得电子速率mEv2又mvp，由德布罗意公式phmmmvh10311931341075.2101.9106.1202101.91063.6即电子德布罗意波长为101075.2m。File61.设归一化波函数：)(2221xAexxa，a为常数，求归一化常数A。解：由归一化条件12dxx，有122222221dxeAdxAexaxa2.设归一化波函数：xanAxnsin)0(ax，n为正整数，a为常数，求归一化常数A。解：由归一化条件12dxx，有1)(sinsin222dxxanAdxxanA令dxaaxd,则上述积分化为：122sin22202aAaAdnaA所以，aA2File71.自由粒子的波函数为)(),(EtrpiAetr其中p和E是粒子的动量和能量，r和t是空间与时间变量，是普朗克常数，A是归一化常数。试建立自由粒子波函数所满足的方程。解：波函数两边对时间t求一次导数，得：)(EtrpieiAEt忽略归一化常数A的影响，显然由上式可得：Eti由力学量的算符表示，ip，并且由关系mpE22得：22mE考虑在势场中运动的粒子的经典能量关系式VmpE22，得VmE22所以，综上所述可知自由粒子的波函数满足的方程为),(2),(22trrVmtrtiFile8设一个微观粒子的哈密顿算符的本征方程为)()(ˆxExHnnn该粒子的初始波函数为)()()0,(2211xcxcx设nc和)(xn是实数，求任意时刻的波函数),(tx及粒子的几率密度。解：含时薛定谔方程的一般解：nnnntiExctx)exp()(),(由题目已知，得：)()()0exp()()0,(2211xcxcxcxnnn显然)()()(2211xcxcxcnnn所以任意时刻波函数)exp()()(),(2211tiExcxctxn几率密度222112)()(),()(xcxctxx(file9）宽度为a的一维无限深势阱中粒子的本征函数为,...3,2,1sin2)(nxanaxn求证本征函数的正交性：anmnmdxxx0)(0)()(证明：aanmdxxanaxamadxxx00sin2sin2)()()sin(1)sin(1)sin(1)cos()cos(1)cos()cos(21200000nmnmxanmnmaaxanmnmaaxdxanmxdxanmadxxanmxanmaaaaaa显然，nm时，0)sin(1nmnm即：anmnmdxxx0)(0)()(命题得证。