极化恒等式教师版

1巧用极化恒等式秒杀高考向量题江苏张锡文一、极化恒等式的概念：设,ab是两个平面向量，则有恒等式221()()4ababab（1）有时也将（1）写成224()()ababab，极化恒等式的几何意义是：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即：2214abADBC,在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即2214abAMBC，它揭示了三角形的中线与边长的关系.极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，因此，当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解.二、极化恒等式的应用：1、（2012浙江15）在ABC中，M是BC的中点，310AMBC，，则ABAC=.析：法1：基底法取BC的中点M，ABAMMB，ACAMMCAMMB，22()()92516ABACAMMBAMMBAMMB法2：坐标法以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，设点(,)Mxy，则点(5,0)B,点(5,0)C，由3AM，所以229xy，22(5,)(5,)2516ABACxyxyxyMABCxy(-5,0)5,0()x,y()CMOAB2法3：极化恒等式(极化恒等式解决问题的典型范例)22221()()41925164ABACABACABACAMCB2、（2011上海11）在正三角形ABC中，D是BC上的点，3,1ABBD，则ABAD.析：法1：基底法21()()31()32133152ABADABABBDABABBCABABACABABABAC法2：坐标法以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，则33(0,)2A,3(,0)2B,3(,0)2C，所以333(,)22AB,133(,)22AD，所以152ABAD法3：极化恒等式取BD的中点O，连接AO,则在ABC中，由余弦定理：2222cosAOABAOABAOB=314所以2211542ABADAODBABCDxyCOABOABCD33、（2016江苏13）如图，在ABC△中，D是BC的中点，,EF是AD上两个三等分点，4BACA，1BFCF，则BECE的值是．析：法1：基底法1令DFa，DBb，则DCb，2DEa，3DAa，则3BAab，3CAab，2BEab，2CEab，BFab，CFab，则229BACAab，22BFCFab，224BECEab，由4BACA，1BFCF可得2294ab，221ab，因此22513,88ab，因此22451374888BECEab．法2：基底法2设,ABaACb，则4BACAABACab………①22()()()()33111212()()()()3333331(2)(2)19BFCFAFABAFACADABADACabaabbbaabbaab即：(2)(2)9baab………②由①②可求22292ab，所以()()BECEAEABAEAC11()()3311()()6617(5)(5)368ADABADACabaabbbaab法3：极化恒等式224BACAABACADBD2222119BFCFFBFCFDBDADBDFEDCBAFEDCBA4解得：224513,88ADBD,所以22224798BECEEBECEDBDADBD4、若AB是O的直径，M是O的弦CD上的一个动点，8,6ABCD,则MAMB范围．析：法1：基底法222()()()()16MAMBMOOAMOOBMOOAMOOAMOOAMO过点O作OGCD,垂足为G，连接,OGOC,则22116974OGOCCD,因为OCOMOG，即74OM，所以9,0MAMB．法2：坐标法如图，设(,)Mxy，点(4,0)A,点(4,0)B，2216MAMBxy因为74OM，所以227,16xy，所以9,0MAMB法3：极化恒等式:2221164MAMBMOBAMO,因为OCOMOG，即74OM，所以9,0MAMB．GOABDCMxyAOBDCM55、已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,E为线段BC上一动点，延长AE交圆O与点F，则FAFB的取值范围是．析：法1：极化恒等式过点C作CDAB,垂足为D,则点D是AB中点，连接FD，所以23ABACBC222134FAFBFDBAFD,因为点F在劣弧BC上，33FD,(点F在点C处达到最大，在点B处最小)所以0,6FAFB．法2：坐标法22(32cos,12sin)(32cos,12sin)34cos14sin4sin24sinFAFB因为0,2，所以sin0,1所以0,6FAFB6、如图,放置的边长为1的正方形ABCD，顶点,AD分别在x轴，y轴正半轴（含原点）滑动，则OBOC的最大值为．法1：坐标法如图建系，设ODA,则(sin,0)A，(0,cos),D(sincos,sin)B，(cos,cossin)C，所以(sincos,sin)(cos,cossin)OBOC，22sincoscossincossin1sin2因为(0,)2，所以sin20,1，即即OBOC的最大值为2．xyABOCDEDBCAFxy(2cosα，2sinα)0，2()3，-1()-3，-1()FBCOAE6法2：极化恒等式如图，取BC，AD中点E，F,2221144OBOCOEBCOE因为13122OEOFEF(当OEBC时取等号)所以91244OBOC，即OBOC的最大值为2．7、（2012南京模拟）在ABC△中，点,EF分别是线段,ABAC的中点，点P在直线EF上，若ABC△的面积为2，则2PBPCBC的最小值是．析：极化恒等式取BC中点O,2214PBPCPOCB,所以22222332344PBPCBCPOCBPOBCPOBC，因为12POh，所以333232ABCPOBChBCS,所以2PBPCBC的最小值是23．8、（2012安徽）平面向量,ab满足23ab，则ab的最小值．法1：23ab，平方得22449abab，而22444ababab所以449abab，所以98ab．法2：由定义知，a与b共线反向时，abab，要求ab的最小值，只要求ab的最大值，a与b共线反向时，2222ababab，所以98ab，当且仅当322ab时hOFECBAP7取等号；所以98ab法3：极化恒等式因为2212(2)(2)4ababab，所以2228(2)(2)(2)9abababab，所以98ab巩固练习：1、（2007天津15）在ABC△中，2,3ABAC,D是边BC的中点，则ADBC．2、已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的动点，则PAPB范围．析：过点C作CDAB,垂足为D,则点D是AB中点，连接PD，所以23ABACBC222134PAPBPDBAPD,因为13PD,(点P在点C处达到最大)所以2,6PAPB3、设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的圆弧APB上（如图所示），则PDPC的取值范围是．ABDCPDBCAP83变（2015南通三调）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，以A为圆心，AE为半径，作圆交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则PCPD的最小值．法1：极化恒等式222114PCPDPGCDPG当,,APG三点共线时PG最小,此时51PGAGAP,PCPD的最小值为525．法2：坐标法(略)4、已知AB是O的直径，2AB，C是圆O上异于,AB的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则()PAPBPC的最小值．5、（2017南通二模）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且35OAOC，.若7ABAD，则BCDC的值是．4、如图,在ABC中,已知4,6,60ABACBAC,点,DE分别在边,ABAC上,且2,3ABADACAE，若F为DE的中点,则BFDE的值为.法1：基底法法2：几何法取EC的中点，连接BG，取BG中点M，连接FM，则BMDE,且FMBG,ABG是等边三角形，224BFDEBFBMBMDE法3：坐标法法4：极化恒等式取BD的中点N，连接NF,EB,则BEAE,OBCDAFEABDCPGFEABDCPFBDCAEMFBDCGEAP'GEFBCADP9所以23BE,在DEB中，12FNEB,所以3FN，222122()2(1)4BFDEFBFDFNDBFN，所以4BFDE备选：1、（2008浙江9）已知,ab是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0acbc,则c的最大值是（A）1（B）2（C）2（D）222、（2013浙江7）设0,PABC是边AB上一定点，满足ABBP410，且对于边AB上任一点P，恒有00PBPCPBPC，则A.090ABCB.090BACC.ACABD.BCACNFBDCEA103、在平面直角坐标系xoy中，,AB分别在,xy正半轴上移动，2AB，若点P满足2PAPB，则OP的取值范围为．4、在梯形ABCD中，满足//ABBC,1,3,ADBC2ABDC，则ACBD．5、（2016南京三模13）在半径为1的扇形AOB中，60AOB,C为弧上的动点，AB与OC交与点P，则OPBP的最小值是．6、在等腰直角三角形ABC中，1ABAC,点E为斜边BC的中点，点M在线段AB上运动，则AEAMACAM的取值范围是．7、已知,AB是圆O:221xy的两个点，P是线段AB上的动点，当AOB的面积最大时，则2AOAPAP的最大值是．11