金帆6年级秋季讲义与作业详解(第三讲)

六年级1576412766397第1页共11页1【几何学发展史二】二、中国古代几何学中国的几何有悠久的历史，可靠的记录从公元前十五世纪谈起，甲骨文内已有“规”和“矩”两个字,规是用来画圆的,矩是用来画方的.春秋时期，随着铁器的出现，生产力的提高，中国开始了由奴隶制向封建制的过渡，新的生产关系促进了科学技术的发展与进步。战国时期人们通过田地及国土面积的测量，城池的修建，水利工程的设计等生产生活实践，积累了大量的数学知识。（1）但是秦朝的焚书坑儒给中国文化事业造成空前的浩劫，西汉作为数学新发展及先秦典籍的抢救工作的结晶，便是《九章算术》的成书。它对于中国和东方数学，大体相当于《几何原本》对于希腊和欧洲数学。中国古代的几何一般不讨论图形离开数量关系的性质，而要计算出长度、面积、体积。在《九章算术》的方田章中有各种多边形、圆、弓形等的面积公式；商功章讨论了各种立体的体积公式。《九章算术》后，中国的数学著述基本采用两种方式：一是为《九章算术》做注；二是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。经过两汉社会经济和科学技术的大发展，到魏晋时期，思想文化领域中儒家的统治地位被削弱，代之以谈三玄——《周易》、《老子》、《庄子》为主的辩难之风。与此相适应，数学家重视理论研究，力图把自先秦到两汉积累起来的数学知识建立在必然可靠的基础之上。（2）刘徽和他的《九章算术注》便是魏晋时代造就的最伟大的数学家和最杰出的数学著作。该书前九卷全面论证了《九章算术》的公式、解法，发展了出入相补原理、截面积原理、齐同原理和率的概念，在圆面积公式和锥体体积公式的证明中引入了无穷小分割和极限思想，首创了求圆周率的正确方法，指出并纠正了《九章》的某些不正确的或错误的公式，探索出解决球体积的正确途径。以多面体体积的算法为例，在实际中使用了长方体的体积公式：V=abh。堑堵是将长方体沿相对两棱剖开所得的几何体，其体积显然是V=abh/2；沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，一部分是四棱锥，称为阳马，其体积为V=abh/3，另一部分为四面都是直角三角形的三棱锥，叫鳖臑，其体积V=abh/6。刘徽用无穷小分割的方法证明了上述公式。六年级1576412766397第2页共11页2在平面几何中用直角三角形或正方形在立体几何中用锥体和长方体进行移补,这构成了中国古代几何的特点.刘徽未能解决球体积公式的证明，但他创造性地给出了他的“牟合方盖”，但是他未能证明，在书中他也坦诚直言，表示“以俟能言者”。200多年后出了一位“能言者”，那就是祖暅之。（3）《缀术》包含了祖冲之（429—500年）和儿子祖暅之（一作祖暅，生平不详）的数学贡献。祖暅沿用刘徽的“牟合方盖”，证明了球体体积的计算问题，充分显示了中国古代数学家的聪明才智。由于该书内容深奥，隋唐算学馆的学官（相当于今天大学数学系的教授）读不懂，后失传。刘徽和祖氏父子在极限思想的运用上远远超过了古希腊的同类思想，达到了文艺复兴前世界数学界的最高峰。第三讲：立体几何一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．cbaHGFEDCBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：2()Sabbcca长方体；长方体的体积：Vabc长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么：26Sa正方体，3Va正方体．二、圆柱与圆锥立体图形表面积体积圆柱hr222π2πSrhr圆柱侧面积个底面积2πVrh圆柱圆锥hr22ππ360nSlr圆锥侧面积底面积注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长21π3Vrh圆锥体球24πSr球34π3Vr球六年级1576412766397第3页共11页3【典型例题】例1.下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？例2.一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？例3.一个表面积为256cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2cm．例4.如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木六年级1576412766397第4页共11页4例5.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？26例6.一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．7cm4cm5cm例7.一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？例8.有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？六年级1576412766397第5页共11页5例9.如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的23，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？甲乙例10.如图，ABCD是矩形，6cmBC，10cmAB，对角线AC、BD相交O．E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)OFABCDEOFABCDE例11.如图，ABCD是矩形，6cmBC，10cmAB，对角线AC、BD相交O．图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？DCBAO六年级1576412766397第6页共11页6例12.如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．例13.棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少?例14.有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？例15.三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？六年级1576412766397第7页共11页7例16.把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【巩固练习】1.如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?2.一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3)5cm11cm3.如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？4.一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？4cm六年级1576412766397第8页共11页85.如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升．12rr12hh6.有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔，求这个立体图形的表面积.7.下图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？8.有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30分米3.现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见下图）.问：瓶内现有饮料多少立方分米？六年级1576412766397第9页共11页9【巩固练习参考答案】9.如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(31)(41)(51)9刀，而原正方体一个面的面积1l1(平方米)，所以表面积增加了92118(平方米)．原来正方体的表面积为616(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为618=24(平方米)．10.一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3)5cm11cm【解析】设圆锥的高为x厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：22215π611π6π63xx，解得9x，所以容器的容积为：221π612π69540π16203V(立方厘米)．11.如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【解析】大立方体的表面积是202062400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(24542400)69平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．六年级1576412766397第10页共11页1012.一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？4cm【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24412.56(厘米)，侧面积是：12.5612.56157.7536(平方厘米)，两个底面积是：23.1412.563.142225.12(平方厘米)．所以表面积为：157.753625.12182.8736(平方厘米)．13.如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升．12rr12hh【解析】圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍，所以容器容积是水的体积的8倍，即508400