阶段整理回忆

第一部分集合与函数1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.[举例1]已知集},2|{},,|{2RxyyQRxxyyPx，求QP.2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.[举例]若}2|{},|{2xxBaxxA且BA，求a的取值范围.3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若BA，则xA是xB的充分条件；若BA，则xA是xB的必要条件；若BA且BA即BA，则xA是xB的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”，是两种不同形式的问题.［举例］设有集合}2|),{(},2|),{(22xyyxNyxyxM，则点MP的＿＿＿＿＿＿＿条件是点NP；点MP是点NP的＿＿＿＿＿＿＿条件.4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.［举例］命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它是＿＿＿＿（填真或假）命题.5、若函数)(xfy的图像关于直线ax对称，则有)()(xafxaf或)()2(xfxaf等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数)(xfy的图像关于直线ax的对称曲线是函数)2(xafy的图像，函数)(xfy的图像关于点),(ba的对称曲线是函数)2(2xafby的图像.[举例1]若函数)1(xfy是偶函数，则)(xfy的图像关于＿＿＿＿＿＿对称.[举例2]若函数)(xfy满足对于任意的Rx有)2()2(xfxf，且当2x时xxxf2)(，则当2x时)(xf＿＿＿＿＿＿＿＿.6、若函数)(xfy满足：)0)(()(aaxfaxf则)(xf是以a2为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数)(xfy满足：)0)(()(axfaxf则)(xf是以a2为周期的函数.（注意：若函数)(xf满足)(1)(xfaxf，则)(xf也是周期函数）［举例］已知函数)(xfy满足：对于任意的Rx有)()1(xfxf成立，且当)2,0[x时，12)(xxf，则)2006()3()2()1(ffff＿＿＿＿＿＿.7、奇函数对定义域内的任意x满足0)()(xfxf；偶函数对定义域内的任意x满足0)()(xfxf.注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称；若函数)(xfy是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若)(xfy是奇函数且)0(f存在，则0)0(f；反之不然.［举例1］若函数axfx121)(是奇函数，则实数a＿＿＿＿＿＿＿；[举例2]若函数3)2()(2xbaxxf是定义在区间]2,12[aa上的偶函数，则此函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数)(xfy的图像关于直线ax对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.［举例］若函数)(xfy是定义在区间]3,3[上的偶函数，且在]0,3[上单调递增，若实数a满足：)()12(2afaf，求a的取值范围.9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数)(xfy的图像，作出函数axfyaxfyxfyxfyxfy)(),(|,)(||),(|),(的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注|)(||),(|xfyxfy的图像.［举例］函数|1|12|log|)(2xxf的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.10、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.［举例1］已知函数1)(,12)(axxgxxf，若不等式)()(xgxf的解集不为空集，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.[举例2]若曲线1||2xy与直线bkxy没有公共点，则bk,应当满足的条件是.11、曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点.一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于x轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？［举例］函数12)(2axxxf，（]4,3[]1,0[x），若此函数存在反函数，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于x的）方程的过程.注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.［举例］函数])2,((),22(log)(22xxxxf的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线xy对称；若函数)(xfy的定义域为A，值域为C，CbAa,,则有aaffbbff))((,))((11.)()(1bfaafb.需要特别注意一些复合函数的反函数问题.如)2(xfy反函数不是)2(1xfy.［举例1］已知函数)(xfy的反函数是)(1xfy，则函数)43(21xfy的反函数的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.[举例2]已知02,)(log0,2)(2xxxxfx，若3)(1af，则a＿＿＿＿.14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数)0,(,baxbaxy的单调性.[举例]函数)0(1)(axaxxf在),1[x上是单调增函数，求实数a的取值范围.15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值.［举例］求函数12)(2axxxf在区间]3,1[的最值..16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.[举例1]已知关于x的不等式5|3|ax的解集是]4,1[，则实数a的值为.［举例2］解关于x的不等式：)(0122Raaxax.第二部分不等式1、基本不等式2)2(,2baababba要记住等号成立的条件与ba,的取值范围.“一正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用.［举例］已知正数ba,满足32ba，则ba11的最小值为＿＿＿＿＿＿.2、学会运用基本不等式：||||||||||||bababa.［举例1］若关于x的不等式axx|2||1|的解集是R，则实数a的取值范围是＿＿；[举例2]若关于x的不等式axx|2||1|的解集不是空集，则实数a的取值范围是＿.3、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有①利用绝对值不等式的性质②平方③讨论.特别注意：求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”.［举例］解关于x的不等式：)0(12)1(axxa.4、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；②方程有解法③单调性；④换元法；一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数)0(,axaxy的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数.［举例1］已知函数223)(xaxxf的最大值不大于61，又当]21,41[x时，81)(xf，求实数a的值.[举例2]求函数1363)(2xxxxf在区间]2,2[上的最大值与最小值.5、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数),(xafy的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数.［举例］已知不等式0224xxa对于,1[x）恒成立，求实数a的取值范围.第三部分三角函数1、若)2,0(，则tgsin；角的终边越“靠近”y轴时，角的正弦、正切的绝对值就较大，角的终边“靠近”x轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大.［举例1］已知],0[，若0|cos|sin，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿.［举例2］方程sinxx的解的个数为＿＿＿＿个.2、求某个角或比较两角的大小：通常是求该角的某个三角函数值（或比较两个角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如：由tgtg未必有；由同样未必有tgtg；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sinsin；则k2；或Zkk,2；若coscos，则Zkk,2；若tgtg，则Zkk,.［举例1］已知,都是第一象限的角，则“”是“sinsin”的――（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.［举例2］已知0,0,，则“”是“sinsin”的―――（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.3、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由tg的值求cos,sin的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.［举例1］已知是第二象限的角，且acos，利用a表示tg＿＿＿＿＿；［举例2］已知，求)32sin