25、指数方程和对数方程的解法(一)

第三章幂函数、指数函数和对数函数【教材解读】幂函数是中学教材中的一个基本内容，即是对正比例函数、反比例函数、二次函数的系统总结，也是对这些函数的概况和一般化.指数函数是中学教材中的一个基本内容，是最重要的初等函数之一；它在反函数概念及对数函数概念的引入和学习中起关键作用；对培养学生的数学能力、特别是形成正确的数学观念有非常积极的作用.为了解决“已知底数和幂的值，求指数的问题”，引入了对数。对数这一内容本身就是学生第一次学习，因而掌握对数的运算非常重要.一方面，对数的运算要为后面学习对数函数以及对数方程起到铺垫的作用；另一方面，对数的运算和实数的运算有很大的区别.这一部分里证明性质时强调了与指数运算的结合，为后面讲解反函数作铺垫.当然在这个内容中运算法则的熟练运用尤为重要。为了解决不同底数的对数式之间的运算，引入了换底公式.“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用.“对数函数的图像与性质”是继学生学习了指数函数的图像与性质、对数概念及其运算、反函数的概念等知识之后的一节重要内容，是基本初等函数研究的继续，是数形结合的典型课例；它是解指数方程、对数方程及其不等式的基础，是解决一些物理、化学、经济学等实际问题的重要工具，更是高考的热点之一．在本节课的学习中，涉及到数形结合、类比归纳、分类讨论等数学思想，对培养学生的辨证思维能力，培养学生的创新意识有很大的帮助．是幂函数、指数函数等基本初等函数研究的继续；它是解指数方程、对数方程及其不等式的基础．在本节课的学习中，涉及到整体代换、数形结合、分类讨论等数学思想，对培养学生的综合思维能力，提高学生的思辩能力有很大的帮助．指数方程是一种超越方程，以学生目前的知识只能解决一些常规类型的并且是简单的指数方程.因此这部分内容的学习，一是要求学生掌握简单的指数方程的解法，主要有换元法和取对数法，将指数方程转化为代数方程，利用已有的知识来解决问题，还有是利用指数函数的图像与性质来解决问题，二是要使学生感悟其中的等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，使学生学会研究问题的方法，学会学习.在学生了解了对数、对数的运算性质，指数函数与对数函数性质的基础上，为对数函数性质的应用安排了对数方程.由于对数方程属于超越方程，在一般情况下不可以用初等方程求解，所以只介绍几种最简单的特殊类型的对数方程的解法.教材从实例引入对数方程；说明对数方程来自于实践的需要，本节的重点是掌握几种简单的对数方程的解法；难点是掌握检验对数方程的增失根，关键是理解将对数方程转化为代数方程时，有时会扩大（缩小）字母的允许值范围.【知识结构】第26课时．指数方程和对数方程的解法（一）【教学目标】1.理解指数方程、对数方程的概念，掌握简单的指数方程及对数方程的解法，能应用所学知识解决简单的实际问题。2.通过回顾旧知、自主探究、合作交流，掌握简单的指数方程及对数方程的基本解法，从中感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，逐步形成解决问题的思维模式，提高学习能力，改变学习方式.3．理解解对数方程时可能会产生增根的原因，掌握解对数方程过程中检验增根的方法.【教学重点】指数方程及对数方程的概念、简单的对指数方程及对数方程的解法.【教学难点】感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等数学思想与方法，学会研究问题的方法.【知识整理】1．简单的指对数方程指数方程、对数方程的概念：指数里含有未知数的方程叫指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。2．常见的四种指数方程的一般解法（1）方程()(0,1,0)fxabaab的解法：blog)x(fa（2）方程()()(0,1,)fxgxaaaa的解法：)x(g)x(f指数对数函数幂函数、指数函数、对数函数…初等函数复合应用方程不等式解析式图象性质反函数（3）方程()()(0,1,0,1)fxgxabaabb的解法：blg)x(galg)x(f（4）方程20(0,1)xxabacaa的解法：换元，令tax，注意新变量范围，将原方程化为关于t的代数方程，解出t，解出x3．常见的三种对数方程的一般解法（1）方程log()(0,1,)afxbaa的解法：“化指法”，即将其化为指数式ba)x(f再求解，注意需验根．（2）方程log()log()(0,1,)aafxgxaa的解法：“同底法”脱去对数符号，得()()fxgx，解出x后，要满足()0()0fxgx.（3）方程)1a,0a(0CxlogBxlogAa2a的解法：用换元法，令yxloga，将原方程化简为Ay2+By+C=0，然后解之．4．方程与函数之间的转化。【例题解析】【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，中，运算【题目】解方程：9x-4·3x+3=0.【解答】解：由(3x)2-4(3x)+3=0(3x-1)(3x-3)=03x=1或3x=0或1.【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，选择题，中，运算【题目】方程log2［log3(log5x)］=0的根是()A.1B.9C.25D.125【解答】答案：D．解：log3(log5x)=1log5x=3.故选D．【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，解答题，中，逻辑思维【题目】已知关于x的方程：2log2ax-7·logax+3=0有一个根是2，求a值及另一个根【解答】解：设另一根为m，∵Δ0，故由根与系数关系得：23log2log27log2logmmaaaaloga2(27-loga2)=23a=4或32.【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，解答题，中，逻辑思维【题目】解关于x的方程：lg(ax-1)-lg(x-1)=1.【解答】解：由101011)1(1010101xaxxxaxaxx9)10(1xaxaxx1091ax109(1a10).【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，解答题，中，逻辑思维【题目】若239)(loglogyx，（1）如果yx3，求yx、的值；（2）当yx、为何值时，yx有最小值。【解答】解：（1）39,333xxyy（2）当11843,3xy时，yx有最小值为183【课堂反馈】【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指对数方程，填空题，易，运算【题目】方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝__________________【解答】答案：1【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指对数方程，填空题，中，综合运算【题目】不等式2cos(lg20)1((0,))xx的解为【解答】答案：(0,)2【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，填空题，易，运算【题目】方程1)3(lglgxx的解x__________【解答】答案：2【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，填空题，易，运算【题目】方程4220xx的解是_______________【解答】答案：0x【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，填空题，易，运算【题目】方程2lglg(2)0xx的解集是【解答】答案：}2,1{【课堂小结】1．简单的指对数方程指数方程、对数方程的概念：指数里含有未知数的方程叫指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。2．常见的四种指数方程的一般解法（4）方程()(0,1,0)fxabaab的解法：blog)x(fa（5）方程()()(0,1,)fxgxaaaa的解法：)x(g)x(f（6）方程()()(0,1,0,1)fxgxabaabb的解法：blg)x(galg)x(f（4）方程20(0,1)xxabacaa的解法：换元，令tax，注意新变量范围，将原方程化为关于t的代数方程，解出t，解出x3．常见的三种对数方程的一般解法（1）方程log()(0,1,)afxbaa的解法：“化指法”，即将其化为指数式ba)x(f再求解，注意需验根．（2）方程log()log()(0,1,)aafxgxaa的解法：“同底法”脱去对数符号，得()()fxgx，解出x后，要满足()0()0fxgx.（3）方程)1a,0a(0CxlogBxlogAa2a的解法：用换元法，令yxloga，将原方程化简为Ay2+By+C=0，然后解之．4．方程与函数之间的转化。5.数形结合、分类讨论的数学思想方法【课后作业】【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，填空题，易，运算【题目】方程1)12(log3x的解x【解答】答案：2【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，填空题，易，运算【题目】方程96370xx的解是．【解答】答案：x=7log3【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，填空题，中，运算【题目】若21xx、为方程11212xx的两个实数解，则21xx【解答】答案：11【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指对数方程，填空题，中，运算【题目】解下列指数方程（1）223380xx；（2）31636281xxx；（3）21153xx【解答】答案：（1）设3xy，原方程可化为298090yy，解得9y或19y（舍），即2x，所以原方程的解为2x．（2）原方程可化为22344929xxxx，可化为24432099xx，所以4293x或419x（舍），即12x，所以原方程的解为12x．（3）两边取对数得21lg51lg3xx，即1lg51lg30xx，解得1x或3log15，所以原方程的解为1x或3log15x．【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，中，运算【题目】若x0是方程1312xx的解，则x0属于区间（）A．2,13B．12,23C．11,32D．10,3【解答】C【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，难，运算【题目】已知函数||212)(xxxf.（1）若2)(xf，求x的值；（2）若0)()2(2tmftft对于]2,1[t恒成立，求实数m的取值范围.【解答】答案：解（1）当0x时，()0fx；当0x时，1()22xxfx由条件可知1222xx，即222210xx解得212x20log(12)xx∵∴（2）当[1,2]t时，22112(2)(2)022tttttm即24(21)(21)ttm，2210t∵，2(21)tm∴[1,2]t∵，2(21)[17,5]t∴故m的取值范围是[5,)【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，中，运算【题目】解方程log4(3-x)+log41(3+x)=log4(1-x)+log41(2x+1)【解答】解：由原方程得：log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1)(3-x)·(2x+1)=(1-x)·(3+x)解之:x=0或7，经检验知：x=0为原方程解.【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，易，运算【题目】解方程9x+6x=22x+1