高数闭区间上连续函数的性质教案

第17、18课时：【教学目的】1、掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；2、熟练掌握零点定理及其应用。【教学重点】1、介值性定理及其应用；2、零点定理及其应用。【教学难点】介值性定理及其应用§110闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值与最小值最大值与最小值对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）例如函数f(x)1sinx在区间[02]上有最大值2和最小值0又如函数f(x)sgnx在区间()内有最大值1和最小值1在开区间(0)内sgnx的最大值和最小值都是1但函数f(x)x在开区间(ab)内既无最大值又无最小值定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值定理1说明如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续那么至少有一点1[ab]使f(1)是f(x)在[ab]上的最大值又至少有一点2[ab]使f(2)是f(x)在[ab]上的最小值注意如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值例在开区间(ab)考察函数yx又如如图所示的函数在闭区间[02]上无最大值和最小值21311101)(xxxxxxfy定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界二、零点定理与介值定理零点如果x0使f(x0)0则x0称为函数f(x)的零点定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(ab)内至少有一点使f()0定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且在这区间的端点取不同的函数值f(a)A及f(b)B那么对于A与B之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点使得f()C定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点使得f()C证设(x)f(x)C则(x)在闭区间[ab]上连续且(a)AC与(b)BC异号根据零点定理在开区间(ab)内至少有一点使得()0(ab)但()f()C因此由上式即得f()C(ab)定理4的几何意义连续曲线弧yf(x)与水平直线yC至少交于一点推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值例1证明方程x34x210在区间（01）内至少有一个根证函数f(x)x34x21在闭区间[01]上连续又f(0)10f(1)20根据零点定理在(01)内至少有一点使得f()0即34210(01)这等式说明方程x34x210在区间（01）内至少有一个根是