第11讲(电气及其自动化专业)

第5章控制系统的频域分析引言1.为什么要对系统进行频域分析？时域分析法的不足：从微分方程或传递函数角度求解系统的时域响应（和性能指标），计算量大，对于高阶系统十分不便，甚至难以确定解析解。频域分析法:是一种间接的研究控制系统性能的工程方法。它研究系统的依据是频率特性，因此频率特性是控制系统的又一种数学模型。2.频率响应、频率特性和频域分析法在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分量称为频率响应。（控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成）系统频率响应和正弦输入信号之间的关系称为频率特性，它和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。控制系统的频率特性反映正弦输入下系统响应的性能。研究其的数学基础是Fourier变换。利用系统频率特性分析和综合控制系统的方法称为频域分析法。3.频域分析法的优点(1)物理意义明确。对于一阶系统和二阶系统，频域性能指标和时域性能指标有明确的对应关系；对于高阶系统，可建立近似的对应关系。(2)可以用试验方法求出系统的数学模型，易于研究机理复杂或不明的系统；也适用于某些非线性系统。(3)可以根据开环频率特性研究闭环系统的性能，无需求解高次代数方程。这一点，与根轨迹法有异曲同工之妙，只是前者的自变量是频率ω，而后者的参数一般是开环增益K。(4)能较方便地分析系统中的参量对系统动态响应的影响，从而进一步指出改善系统性能的途径。(5)采用作图方法，计算量小，且非常直观。4.时域分析法与频域分析法的比较(1)时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、精确。(2)频域分析法是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。(3)频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种数学模型——频率特性，对系统的性能，如稳定性、快速性和准确性进行分析。§5.1频率特性1.引例——RC电路对于图示RC电路，其传递函数为式中，τ=RC。()1)1()1()1oiUsCsUsRCss（RC电路uo(t)RCui(t)+-+-5.1.1频率特性概述设输入电压为正弦信号，其时域和复域描述为所以有将其进行拉氏反变换()siniutUt22()iUUss221()1oUUsss2222()sin()arctan11toUUutetuo(t)表达式中第一项是暂态分量，第二项是稳态分量。显然上述RC电路的稳态响应为结论：当电路输入为正弦信号时，其输出的稳态响应（频率响应）也是一个正弦信号，其频率和输入信号相同，但幅值和相角发生了变化，其变化取决于ω。22lim()sin()111sin11otUuttUtjj若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示，并求其复数比，可以得到式中频率特性G(jω)：上述电路的稳态响应与输入正弦信号的复数比，且G(jω)=G(s)|s=jω。幅频特性A(ω)：输出信号幅值与输入信号幅值之比。相频特性(ω)：输出信号的相角与输入信号的相角之差。()1()()1jGjAej2211()11Aj1()arctan1j设线性定常系统输入信号为r(t)，输出信号c(t)，如图5-1所示。图中，G(s)为系统的传递函数。即(n≥m)（5-1）nnnnmmmmasasasbsbsbsbsRsCsG1111110)()()(图5-1线性定常系统图5-1线性定常系统2.一般n阶控制系统在正弦信号作用下的稳态输出若在系统输入端作用一正弦信号，即r(t)=Rsinωt（5-2）系统输出C(s)为（5-3）22)(sRsR)()()(sRsGsC设传递函数G(s)可表示成极点形式（5-4）-p1、-p2…-pn为G(s)的极点，其可以为实数，也可为复数，并且假定其均在根平面的左半平面，即系统是稳定的。nnnnmmmmasasasbsbsbsbsNsMsG1111110)()()(niipssM1)()(由式(5-3)及(5-4)得输出为（5-5）式中,,,,…为待定系数，由留数定理求得221)()()(sRpsSMsCniiniiipscjsajsa1211a2a1c2cnc)(2)()(lim221jGjRsRsGjsajs)(2)()(lim222jGjRsRsGjsajs22)()(limsRsGpscipsii由拉普拉斯反变换得输出响应nitpitjtjieceaeatc121)(对于稳定系统，当t→∞时，（i=1,2,…,n）均随时间衰减至零。此时系统响应的稳态值为:（5-6）和为共轭复数，可表示为tpietjtjsseaeatc21)(1a2a)(1)(2)(2jGjejGjRjGjRa)(2)(2)(2jGjejGjRjGjRa则（5-7）式中，tjjGjtjjGjsseejGjReejGjRtc)()()(2)(2)(jeejGRjGtjjGtj2)()]([)]([)](sin[)(jGtjGR)sin(tC)(jGRC)(jG结论：式（5-7）表明，线性定常系统在正弦信号作用下，系统的稳态输出将是与输入信号同频率的正弦信号，仅仅是幅值和相位不同，幅值，相位，均是频率ω的函数。)(jGR)(jG定义：线性定常系统在正弦信号作用下，稳态输出的复变量与输入的复变量之比称为系统的频率特性，记为G(jω)（5-8）其中稳态输出与输入的幅值之比称为系统的幅频特性。记为A(ω)，即)()()(jRjCRCjGss)()(jGRCA（5-9）稳态输出与输入的相位差称为系统的相频特性，记为(ω)，即(ω)=∠G(jω)（5-10）频率特性还可表示为G(jω)=p(ω)+jθ(ω)式中p(ω)——为G(jω)的实部，称为实频特性；θ(ω)——为G(jω)的虚部，称为虚频特性。显然有（5-11）需要指出，当输入为非正弦的周期信号时，其输入可利用傅立叶级数展开成正弦波的叠加，其输出为相应的正弦波的叠加。此时系统频率特性定义为系统输出量的傅氏变换与输入量的傅氏变换之比。)()()()()()()(sin)()()(cos)()(22parctgpAAAp5.1.2频率特性的求取js1)(TsKsGTjarctgeTKTjKjG2)(11)(2222111)(TTKjTKTjKjG由频率特性概念知，频率特性G(jω)是传递函数的一种特例，即将传递函数中的复变量s换成纯虚数jω就得到系统的频率特性。G(jω)=G(s)（5-12）例5-1已知系统的传递函数为解：令s=jω得系统的频率特性或幅频特性:相频特性:实频特性:虚频特性:幅频特性和相频特性随ω变化的曲线如图5-2所示。2)(1)(TKATarctg)(221)(TKp221)(TKT图5-2A(ω)和φ(ω)曲线例题2已知系统的传递函数为，求频率特性。)2(1)(ssssG解：)2(1)(jjjjG)1(211)(jjjjG)arctan(arctan22arctan2arctan22222411411)(jjjjeeeejG与时域响应中衡量系统性能采用时域性能指标类似，频率特性在数值上和曲线形状上的特点，常用频域性能指标来衡量，它们在很大程度上能够间接地表明系统动静态特性。系统的频率特性曲线如图5-3所示。1.谐振频率是幅频特性A(ω)出现最大值时所对应的频率；2.谐振峰值指幅频特性的最大值。值大，表明系统对频率的正弦信号反映强烈，即系统的平稳性差，阶跃响应的超调量越大；rrMrM5.1.3频域性能指标图5-3频率特性曲线3.频带指幅频特性A(ω)的幅值衰减到起始值的0.707倍所对应的频率。大，系统复现快速变化信号的能力强、失真小。即系统的快速性好，阶跃响应的上升时间短，调节时间短；4.A(0)指零频(ω=0)时的幅值。A(0)表示系统阶跃响应的终值，A(0)与1相差的大小，反映了系统的稳态精度，A(0)越接近于1，系统的精度越高。bb返回关于频率特性的几点说明：①频率特性不只是对系统而言，其概念对控制元件、部件等均适用。②频率特性只适用于定常模型，否则不能用拉氏变换求解，也不存在这种稳态对应关系。③前面在推导频率特性时假设系统稳定。如果系统不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态振荡cs(t)。但理论上推导动态过程时，它的稳态分量总可以分离出来，而且其规律性不依赖于系统的稳定性。因此将频率特性的概念扩展为LTI系统正弦输入作用下，输出稳态分量和输入的复数比。④由频率特性的表达式G(jω)可知，其包含了系统或元部件的全部结构和参数。故尽管频率特性是一种稳态响应，而动态过程的规律性必将寓于其中。所以频域分析法就是运用稳态的频率特性间接研究系统的动态响应，从而避免了直接求解高阶微分方程的困难。⑤稳定系统的频率特性可由实验方法确定。⑥稳定系统的频率特性为输出信号的傅氏变换与输入信号的傅氏变换之比，这是频率特性的物理意义。⑦(ω)大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。控制系统微分方程传递函数频率特性频率特性、传递函数和微分方程三种系统描述之间的关系⑧频率特性与微分方程和传递函数一样，也表征了系统的运动规律，成为系统频域分析的理论依据。在工程分析和设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲线，再运用图解法进行研究。作为一种图解分析系统的方法，频率特性曲线常采用三种表示形式，即极坐标图、对数坐标图，对数幅相图。§5.2典型环节的频率特性5.2.1概述1.极坐标图(乃奎斯特图或乃氏图或Nyquist图)A、幅频特性曲线以频率ω为横坐标，以幅频A(ω)为纵坐标，画出A(ω)随频率ω变化的曲线。B、相频特性曲线以频率ω为横坐标，以相频(ω)为纵坐标，画出(ω)随频率ω变化的曲线。RC电路的幅频和相频特性(弧度1/4/3/2/5/1/4/3/2/5/221()1A()arctan()ω01/2τ1/τ2/τ3/τ4/τ5/τ∞A(ω)10.890.7070.450.320.240.20(ω)°0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-90系统频率特性可表示为用一向量表示某一频率下的向量的长度，向量极坐标角为，的正方向取为逆时针方向，选极坐标与直角坐标重合，极坐标的顶点在坐标原点。)()()(jeAjGi)(ijG)(iA)(i)(C、幅相特性曲线——极坐标图(乃奎斯特图或乃氏图或Nyquist图)图5-4极坐标图频率特性G(jω)是输入频率ω的复变函数，是一种变换，当频率ω由0→∞时，G(jω)变化的曲线，即向量端点轨迹就称为极坐标图。极坐标图在时，在实轴上的投影为实频特性，在虚轴上的投影为虚频特性。i)(ip)(i①幅相特性曲线是将频率ω作为参变量，将幅频与相频特性同时表示在复数平面上。图上实轴正方向为相角零度线，逆时针旋转为正。（复数表示、极坐标图）②将G(jω)分为实部和虚部(代数表示)，即()()()()()jGjGjeXjYX(ω)和Y(ω)分别称为实频特性和虚频特性。取横坐标X(ω)，纵坐标表示Y(ω)，也可得到系统的幅相曲线。RC电路的乃氏图01()jY()X()()A0ω01/2τ1/