题目A答案

1量子力学（A卷）参考答案一填空(2分×20空=40分)1．在光的波粒二象性的启示下，为克服玻尔理论的局限性，德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性的假设。2．波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。3．微观粒子的波函数应满足的三个标准条件：单值性，连续性，有限性。4．已知1和2是力学算符Fˆ不同本征值对应的本征函数，则12d0。5．若两个力学量算符ˆF和ˆG的对易关系为ˆˆˆ[,]FGik，则ˆF和ˆG的测不准关系式是222().()4kFG。6．角动量平方算符2ˆL的本征值2)1(ll对应的本征函数是),(lmY,这里l和m分别叫做角和磁量子数，m取值为0,1,2,,l。7.对易关系2ˆ[,]zLL0，ˆˆ[,]yzLLˆxiL，ˆˆ[,]xLyˆiz。8.如两力学量算符ˆˆ,AB有共同本征函数完全系，则ˆˆ[,]AB0。9.算符在其自身表象中是一个对角矩阵。10.偶极跃迁中，角量子数与磁量子数的选择定则为1,0,1lm.211.斯特恩(Stern)－革拉赫(Gerlach)实验和光谱的精细结构表明电子具有自旋属性，电子自旋角动量在空间任何方向的投影只能是zS2。12．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有反对称性，玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有对称性。13.已知泡利算符分量1001z，x,y的矩阵表达式分别为0110x，00yii。二计算题(选做5题，每题12分，共60分)1．(12分)一粒子在一维势场,0,()0,0,xUxxaxa中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：一位无限深势阱中，定态薛定谔方程)()(2)(222xEUdxxd（1）（2分）在阱外，0,xxa,)(xU，若波函数ox)(,由(1)式得22dxd,这是没有意义的。因此,在阱外必有0)(x。（2分）在阱内,ax0,,0)(xU令222Ek,由(1)式得0222kdxd.(2)上式的通解是kxBkxAxcossin)(,(3)3BA,是两个待定常数.由于)(x在边界处连续,有,0)0(B且0)(sinakaA.由于0A,否则只能有零解,故ank,,2,1n.将粒子波函数kxAxsin)(代入归一化条件adxxx01)()(,积分得aA2,所以,归一化波函数为axnaxnsin2)(.(4)（5分）粒子能量为22222Ena.(5)（3分）2．(12分)粒子状态处于一维谐振子的基态22221/2(,)xitxte试求平均值x和动量的几率分布函数。（利用积分公式：2xedx）解：平均值x为222222*22221/21/2()()0xixittxxxxxdxexedxxedx（4分）因为动量的本征函数为1()2ipxpxe，所以dxxxpcp)()()(*212212iixtPxeedx42212212iixtPxeedx2222221()22212ippixteedx2222221()22212pipixteeedx22222122pitee222221pite（6分）动量几率分布函数为2221)()(2pepcp（2分）3．(12分)在2ˆL和ˆzL的共同表象中，算符ˆxL的矩阵为，求它的本征值和归一化本征函数，并将矩阵ˆxL对角化。解：xL的久期方程为00202202233210，，∴xLˆ的本征值为，，0（4分）xLˆ的本征方程3213210101010102aaaaaa5其中321aaa设为xLˆ的本征函数ZLLˆˆ2和共同表象中的矩阵当01时，有0000101010102321aaa000022132312aaaaaaa，∴1100aa由归一化条件2111*1*10020),0,(1aaaaa取211a210210对应于xLˆ的本征值0。（2分）当2时，有3213210101010102aaaaaa613321232123122221)(2121aaaaaaaaaaaaa∴1112aaa由归一化条件21111*1*1*142),2,(1aaaaaaa取211a∴归一化的212121对应于xLˆ的本征值。（2分）当2时，有3213210101010102aaaaaa13321232123112221)(2121aaaaaaaaaaaaa∴1112aaa7由归一化条件21111*1*1*142),2,(1aaaaaaa取211a∴归一化的212121对应于xLˆ的本征值。（2分）由以上结果可知，从ZLLˆˆ2和的共同表象变到xLˆ表象的变换矩阵为21212121210212121S∴对角化的矩阵为SLSLxx21212121210212121010101010212121212121210212xL2121212121021212121121211210002800000002000200002（2分）4．(12分)设一体系未受微扰作用时有三个能级：000123,,EEE，现在受到微扰作用，微扰矩阵元为/**00000aHbab，其中000123EEE，用微扰公式求能量至二级修正值。解：因为/**00000aHbab，由微扰论公式可2(0)(0)(0)||mnnnnnmnmHEEHEE得2200111111100002,31122001100001313||||0||||0mmmmmmHHEEHEEEEEaaEEEEEE（4分）2200222222200001,32222001100002323||||0||||0mmmmmmHHEEHEEEEEbbEEEEEE（4分）2200333333300001,233222200110000000031323132||||0||||||||0mmmmmmHHEEHEEEEEababEEEEEEEEEE（4分）5．(12分)求在自旋态121()0zS中，求22().()xySS。解：22112222201011010110101010100101022444xxSS（5分）92211222220010011010100000022444yySSiiiiiii（5分）所以422().()16xySS（2分）6．（12分）简述量子力学的基本假设。答：(1)微观体系的状态用波函数完全描述。（3分）(2)体系的状态波函数满足薛定鄂方程：ˆiHt。（3分）(3)力学量与力学量算符关系的假设：力学量用厄密算符表示，它的本征函数组成完全系，当体系处于波函数()x时，()x可用某力学量算符ˆF的本征函数()n展开，()nnnxc，测量力学量ˆF所得的数值必是算符ˆF的本征值之一n，测得n的几率为2nc。（3分）(4)全同性原理：在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。（3分）