4群表示与不可约表示

第四章：分子的对称性与群论基础4.群表示与不可约表示1Chapter4分子的对称性与群论基础1.群表示Chapter4分子的对称性与群论基础2定义：若矩阵群是抽象群的一个同态映像，则Γ称为G的一个矩阵表示。{}C,B,A,E,Γ{}Cˆ,Bˆ,Aˆ,ˆEG[说明]：矩阵群的元素是同阶方阵；矩阵群的运算规则：矩阵乘法；矩阵群的单位元为：单位矩阵；由数字1构成的矩阵群是任何群G的一个同态映像，称全对称表示。任何标量函数是全对称表示的基函数；一个抽象群可以有无穷多个矩阵表示。()()rfrfR=ˆ1)、群的表示的定义4.3群表示和不可约表示1.群表示Chapter4分子的对称性与群论基础32)、等价表示P是一个非奇异方阵（），但不一定是群表示的矩阵。定义：如果群的表示Γ与Γ’的矩阵，以同一相似变换相关联，则Γ与Γ’为等价表示。.......C,B,A,E,:Γ......,C',B',A',E':'Γ.......,',',CPPCBPPBAPPA111−−−===′0≠P两者等价，是指满足下列关系：4.3群表示和不可约表示1.群表示Chapter4分子的对称性与群论基础4选取基函数为：可以得到C3V点群6个对称操作的矩阵表示（Γ1）：()()2222321,2,x,,yxxyyfff+−==100010001E−−−=10002/1230232/13C−−−=10002/1230232/123C−=100010001Vσ−=′10002/1230232/1Vσ−−−=′′10002/1230232/1Vσ示例：4.3群表示和不可约表示1.群表示Chapter4分子的对称性与群论基础5选取基函数为：()()22321,2,,,yxyxggg==100010001E−−−=412343432/1434/3234/13C−=100010001Vσ3323CCC=3VVCσσ=′23VVCσσ=′′则可以得到C3V点群6个对称操作的矩阵表示如下（Γ2）：两组基函数有变换关系：()()−+−=101010001,2,,2,222222yxxyyxyxyx()()1321321,,,,−=Pfffggg−=2102101021021P−=−1010101011P即：4.3群表示和不可约表示1.群表示Chapter4分子的对称性与群论基础6两组对称操作矩阵有变换关系：()()PΓCPΓC13123−=−−−−−=−−−21021010210211000212302321101010101412343432143432341()()PΓRPΓR112−=−=2102101021021P−=−1010101011P一个对称操作（算符）在同一个函数空间（x,y的二次齐次函数）的作用效果，只是基函数的选取是不同的。可见，等价表示本质上是“相同”的表示。4.3群表示和不可约表示1.群表示Chapter4分子的对称性与群论基础7∑=iiiATrA矩阵的迹（对角元之和）：相似变换不改变矩阵的迹（对角元素之和）等价表示的相应矩阵的迹相同。即：若：则：......,','BBAATrTrTrTr==.......,',BPPBAPPA11−−==′()()BCAABCTrTr=()()∑∑∑∑∑∑∑∑===jjjjikijkijkijkkijkijiiiacbcbaBCAABC证明：故有：()()()()APAPAPPA11TrTrTrTr===−−'4.3群表示和不可约表示1.群表示Chapter4分子的对称性与群论基础83)、特征标群表示理论中，矩阵的迹称特征标：两个表示等价的充要条件是特征标相同。RTrR=)ˆ(χ{}{}.....ˆ)ˆ(.....ˆ)ˆ('===ΓΓRRRRχχ群的一个多维表示一定有无穷多个表示与之等价，且这些表示相互等价。4.3群表示和不可约表示1.群表示Chapter4分子的对称性与群论基础9定理：同一共轭类的群元素，其特征标相同。[证]设：所以：GXBA∈ˆ,ˆ,ˆXBXAˆˆˆˆ1−=BXXA1−=)ˆ()ˆ(BAχχ=（相似变换不改变矩阵的迹）相应的矩阵：1XX,B,A,−EXX1=−且A与B共轭：则由群表示的定义：且：1ˆ,ˆ,ˆ,ˆ−XXBA群元素：4.3群表示和不可约表示2.可约与不可约表示Chapter4分子的对称性与群论基础10例：矩阵的直和：−−−=10002123023213C−−−=21232321a3C()1=b3Cb3a33CCC⊕=可分解为两个子方阵：1)、矩阵的直和4.3群表示和不可约表示2.可约与不可约表示Chapter4分子的对称性与群论基础112)、可约和不可约表示由矩阵的乘法规则可知：方块化的矩阵的乘法为方块对方块的乘法。每组小方块矩阵服从同样的乘法次序。一组子方块矩阵也构成群的一个表示。”子方块矩阵分别构成C3V点群的二维和一维表示：C3V点群的三维表示Γ：=100010001E−−−=10002/1230232/13C−−−=10002/1230232/123C−=100010001Vσ−=′10002/1230232/1Vσ−−−=′′10002/1230232/1Vσ......,,b3a33baCCCEEE⊕=⊕={}{}......,:......,,,:2b23b3ba3a3aC,C,ECCEbaΓΓbaΓ⊕Γ=Γ4.3群表示和不可约表示2.可约与不可约表示Chapter4分子的对称性与群论基础12定义：群的一个表示，如果它的所有矩阵可以借助于某一个相似变换变成相同形式的对角方块化矩阵，则此表示是可约的，否则是不可约的。C3V群的两个三维表示：---可约表示=100010001E−−−=10002/1230232/13C−−−=10002/1230232/123C−=100010001Vσ−=′10002/1230232/1Vσ−−−=′′10002/1230232/1Vσ=100010001E−−−=412343432/1434/3234/13C−=100010001Vσ3323CCC=3VVCσσ=′23VVCσσ=′′---可约表示Γ1：Γ2：4.3群表示和不可约表示2.可约与不可约表示Chapter4分子的对称性与群论基础13总结上述讨论：1.一个群可以有无穷多个矩阵表示，但其中很多是等价表示，对于相互等价的表示，我们只需研究其中的一个。2.一个群可以有很多个不等价表示，但其中很多是可约的，对于可约表示，我们可以将其约化为不可约表示的直和。3.研究群的性质，只需研究其不等价的不可约表示的性质。对于有限阶的群，其不等价不可约表示的数目是有限的。群的所有不等价不可约表示的性质就完全代表了群的性质。4.3群表示和不可约表示3.不可约表示特征标表Chapter4分子的对称性与群论基础14群的重要性质被概括在各种表格中，其中最频繁使用的是不可约表示的特征标表（已列于教材的后面）。4.3群表示和不可约表示2.不可约表示特征标表Chapter4分子的对称性与群论基础15下标g——下标u——上标′——上标〞——下标1——下标2——A——B——()1=nCχ()1−=nCχ()12=′Cχ()1=Vσχ()12−=′Cχ()1−=Vσχ()1=hσχ()1−=hσχ()1=iχ()1−=iχ一维表示:A或B二维表示:E三维表示:T(F)4.3群表示和不可约表示3.广义正交定理（矩阵元正交定理）Chapter4分子的对称性与群论基础16式中为群的阶（对称操作的数目），为的维数（该表示中每个矩阵的阶）群的表示的矩阵元的记号：mniR)ˆ(Γ第i个不可约表示、对称操作（群的元素）的矩阵的m行n列Rˆ定理1（广义正交定理）：若，为群的不可约表示，则：jΓnnmmijjiRnmjmnillhRR′′′′∗=ΓΓ∑δδδˆ)ˆ()ˆ(hiΓjljΓ4.3群表示和不可约表示3.广义正交定理（矩阵元正交定理）Chapter4分子的对称性与群论基础17可将定理改写为：nnmmijjinmhjnmjmnhimnimnilhlhRRRRR′′′′′′∗⋅=ΓΓΓΓΓδδδ)ˆ()ˆ())ˆ(,,)ˆ(,)ˆ((121hhli∑′′∗ΓΓRnmjmniRRˆ)ˆ()ˆ(——两向量的标积——向量的长度（模）——向量的维数（分量数）不可约表示的每一套矩阵元，构成h维空间的一个向量广义正交定理：这些向量是彼此正交的。4.3群表示和不可约表示3.广义正交定理（矩阵元正交定理）Chapter4分子的对称性与群论基础186=h6232221=++lll向量空间的维数（对称操作的数目（群的阶））C3V点群有三个不等价的不可约表示，其一组矩阵元可以构成6维向量空间的向量，这些向量相互正交：正交的向量数，由不可约表示矩阵元的数目给出：C3VEC3C32σV(XZ)σV’σV”Γ1(A1)111111Γ2(A2)111-1-1-1Γ3(E)1001−−−21232321−−−21232321−1001−21232321−−−212323214.3群表示和不可约表示3.广义正交定理（矩阵元正交定理）Chapter4分子的对称性与群论基础19推论1：群的不等价不可约表示的维数平方和等于群的阶。即：hlii=∑2求和包括所有不等价的不可约表示。数学上可严格证明下面的结论：4.3群表示和不可约表示4.不可约表示特征表的正交性Chapter4分子的对称性与群论基础201)．特征标正交定理定理2：若，是群G的不可约表示的特征标，则)ˆ(Rjχ)ˆ(RiχijhRjihRRδχχ=∑∗ˆ)ˆ()ˆ(证明：nnmmijjiRnmjmnillhRR′′′′∗=ΓΓ∑δδδˆ)ˆ()ˆ(nm=nm′=′()∑∑∑∑∑′′′′′∗=ΓΓijijlmlmmmmmijjilmlmRmmjmmillhRδδδˆ')ˆ()Rˆ(∑∑∑∑∗′′′∗=ΓΓRjiRmmmjmmmiRRRRˆˆ)ˆ()ˆ()ˆ()ˆ(χχijiijjihlllhδδ==并对所有行指标求和：令：左=右（对所有对角矩阵元成立）4.3群表示和不可约表示4.不可约表示特征表的正交性Chapter4分子的对称性与群论基础21推论2：不可约表示特征标的平方和等于群的阶。即：（群表示的不可约性判据）hRRi=∑ˆ2)ˆ(χji≠0)ˆ()ˆ(ˆ=∑∗RjiRRχχ()0)ˆ()ˆ()ˆ()ˆ()ˆ(2=∗hjjhiiiRRRRRχχχχχ即：以两个不等价不可约表示的特征标作为分量的两个h维向量相互正交。其逆命题也成立，即：若群表示特征标平方和等于群的阶，则该表示一定是不可约的。令：i=j，得：4.3群表示和不可约表示4.不可约表示特征表的正交性Chapter4分子的对称性与群论基础22推论3:群的不等价的不可约表示的数目等于群的类的数目。例：C3V群，有3个类（k=3）C3VE2C33σVA1111A211-