铅球出手速度一定情况下最佳出手角度的计算

铅球出手速度一定情况下最佳出手角度的计算设铅球的出手速度v0，出手速度v0与水平面的仰角是α，出手高度是h，重力加速度是g，则出手后水平分速度vx=v0cosα,竖直分速度vy=v0sinα-gt,(t是铅球出手后的时间)竖直方向的高度y=v0tsinα-21gt2+h,当铅球落地时，y=0,此时，t=gghv2sinvsin2200αα,(负数不合题意，舍去)此时，铅球的水平距离x=vxt=v0tcosα=v0cosαgghv2sinvsin2200αα=g2)sin211(2sin22020ααvghv为了求最大值，对上式求α的导数，并令其为00]}cossin2-gh2sin21121[2sin)]singh2112cos2{[23202202020αααααα（vvghvgv一般文献中，到此就说“化简求解”得sinα=ghvv222020，至于中间的步骤就略去了，给读者带来了不便。下面我把我的计算过程写给大家，共同切磋。先两边除以gv220，化简一下后半部分的系数，再两边同除以2，移项得ααα）αα（2220220220sinsingh21cosgh2singh2112cosvvv两边同时乘以α220singh21v得αα）α（αα2220220220sincosgh2]sinvgh21singh21[2cosvv两边同时乘以α220sinv，移项得ααααααααghcos22-2cossinv-cos2gh2sinv2cossinv22022200gh利用公式cos2α=cos2α-sin2α，右边的第一项和第三项可化简合并为2ghsin2α，这一步可大大减少计算量。两边同时平方，合并同类项，同时除以2ghsin2α，（因为α=0时，t=gh2,x=v0gh2,可以和下面的结果比较，并不是最大值，而且也不符合常规实际）得αααα2220220singh22cosv2cossin2v（1）再次利用公式cos2α=cos2α-sin2α展开，合并同类项得ααα2420420singh2sinv-cosv左边因式分解，得αα）αα）（α（222220singh2s-cossincosv2in利用1sincos22αα，化简得ghv22vsin20202α注意：从上面（1）式左边可以先提取公因式，利用12cossin22αα，再计算更简单。因此，α=arcsinghvv222020,,cosα=ghvv22gh22020t=ggh2v220此时的水平距离x=v0tcosα=v0ggh2v220ghvv22gh22020=gghv2v200注意：只要v00,就有gghv2v200v0gh2。由结果可知，（1）当出手高度h=0时，有最佳出手角度α最大，为45°；（2）出手速度v0一定时，出手高度h越大，α越小；（3）出手高度h一定时，出手速度v0越大，α越大，且越接近45°。