二元函数泰勒公式

()).10()()!1()()(!)()(2)())(()()(1000)1(00)(200000-+-++-++-¢¢+-¢+=++qqnnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxfL一元函数的泰勒公式：意义：可用n次多项式来近似表达函数)(xf，且误差是当0xx®时比nxx)(0-高阶的无穷小．§9.9二元函数泰勒公式一、问题的提出问题：能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.即设),(yxfz=在点),(00yx的某一邻域内连续且有直到1+n阶的连续偏导数,),(00hyhx++为此邻域内任一点,能否把函数),(00kyhxf++近似地表达为00,yykxxh-=-=的n次多项式，且误差是当022®+=khr时比nr高阶的无穷小．引入函数).10(),,()(00££++=Ftktyhtxft显然),,()0(00yxf=F).,()1(00kyhxf++=F利用一元函数的麦克劳林公式，得).10(),()!1(1)0(!1)0(!21)0()0()1()1()(qqF++F++F¢¢+F¢+F=F+nnnnL由的定义及多元复合函数的求导法则,可得)(tF),,(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx++÷øöçè涶+¶¶=+++++=F¢(*)),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx++++++++=F¢¢LLLL).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnC++÷÷øöççè涶+¶¶=¶¶¶=F+++-+++=-+++å将),()0(00yxf=F,),()1(00kyhxf++=F及上面求得的)(tF直到n阶导数在0=t的值,以及)()1(tn+F在q=t的值代入(*)式.即得)1(,),(!1),(!21),(),(),(00002000000nnRyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf+÷øöçè涶+¶¶++÷øöçè涶+¶¶+÷øöçè涶+¶¶+=++L其中)2().10(),,()!1(1001++÷øöçè涶+¶¶+=+qqqkyhxfykxhnRnn公式)1(称为二元函数),(yxf在点),(00yx的n阶泰勒公式,而nR的表达式)2(称为拉格朗日型余项.定理设),(yxfz=在点),(00yx的某一邻域内连续且有直到1+n阶的连续偏导数,),(00kyhx++为此邻域内任一点,则有二、二元函数的泰勒公式)10(),,()!1(1),(!1),(!21),(),(),(00100002000000qq+q+÷÷øöççè涶+¶¶++÷÷øöççè涶+¶¶++÷÷øöççè涶+¶¶+÷÷øöççè涶+¶¶+=+++kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxfnnL)()(22khoRnn+==rr其中记号),(00yxfykxh÷øöçè涶+¶¶),,(),(0000yxkfyxhfyx+表示),(002yxfykxh÷øöçè涶+¶¶表示),,(),(2),(00200002yxfkyxhkfyxfhyyxyxx++一般地,记号表示),(00yxfykxhm÷øöçè涶+¶¶.),(000yxpmpmpmpmppmyxpkhC--=¶¶¶å由二元函数的泰勒公式知,nR的绝对值在点),(00yx的某一邻域内都不超过某一正常数M.于是,有下面的误差估计式:()()()()()())3(,!12sincos!1!111111++++++=++=++£nnnnnnMnnMkhnMRraar其中.22kh+=r由)3(式可知,误差nR是当0®r时比nr高阶的无穷小.当0=n时,公式)1(成为),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyxqqqq++++++=++上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.推论如果函数),(yxf的偏导数),(yxfx,),(yxfy在某一邻域内都恒等于零,则函数),(yxf在该区域内为一常数.在泰勒公式)1(中,如果取0,000==yx,则)1(式成为n阶麦克劳林公式.),,()!1(1)0,0(!1)0,0(!21)0,0()0,0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnnqq÷÷øöççè涶+¶¶++÷÷øöççè涶+¶¶++÷÷øöççè涶+¶¶+÷÷øöççè涶+¶¶+=+L)10(q)5(例1求函数)1ln(),(yxyxf++=的三阶麦克劳林公式.解,11),(),(yxyxfyxfyx++==Q,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx++-===,)1(!2333yxyxfpp++=¶¶¶-),3,2,1,0(=p,)1(!3444yxyxfpp++-=¶¶¶-),4,3,2,1,0(=p,)0,0()0,0()0,0(yxyfxffyyxxyx+=+=÷øöçè涶+¶¶\,)()0,0()0,0(2)0,0()0,0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx+-=++=÷øöçè涶+¶¶,)(2)0,0()0,0(3)0,0(3)0,0()0,0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx+=+++=÷øöçè涶+¶¶又0)0,0(=f,故,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx++++-+=++其中).10(,)1()(41),(!414443+++×-=÷øöçè涶+¶¶=qqqqqyxyxyxfyyxxR阶）展开成泰勒公式（到二把函数的邻域内按皮亚诺余项在点例221),()0,0(2yxyxf--=)(]),(),(2),([!21),(),(),(),(200002000000000022nyxyxxokyxfhkyxfhyxfkyxfhyxfyxfkyhxfr++++++=++解：1)0,0(=f0]1[)0,0()0,0(22=---=yxxfx0)0,0(=yf1])1(1[)0,0()0,0(232222-=---=yxyfx1)0,0(2-=yf0])1([)0,0()0,0(2322=---=yxxyfxy)(]),(),(2),([!21),(),(),(),(2200002000000000022r++++++=++okyxfhkyxfhyxfkyxfhyxfyxfkyhxfyxyxx)()1(!211122222royxyx+-×-+=--\022®+=yxrykxh==,令