高一上学期数学期末试卷带解析

开始10iS，SSi1iii10结束输出SNY(第5题)7899445661(第6题)(第4题)ReadxIfx≤0Then()4fxxElse()3xfxEndIfPrintf(x)(第10题)高一上学期数学期末试卷参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差2211niisxxn，其中11.niixxn一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为▲.2．21和121的等差中项是▲.3．口袋中有若干白球、红球和黄球，已知摸出白球的概率是0.35，摸出红球的概率是0.43，则摸出黄球的概率是▲.4．如图，在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的小正方形，向大正方形内随机投点，则所投点落在小正方形内的概率是▲.5．如图是一个算法的流程图，最后输出的S=▲.6．如图是某地歌手大赛七位评委为一位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则剩余分数的方差为▲.7．若一个直角三角形的三边长成等比数列，则该三角形的最小角的正弦值为▲.8．已知6，a，b，48成等差数列，实数6，c，d，48成等比数列，则a+b+c+d的值是▲.9．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边长，若603Aa，，则sinsinsinabcABC的值等于▲.10．给出如图所示的伪代码，根据该算法，可求得(3)(2)ff=▲.11．在△ABC中，若222sinsin3sinsinsinBAACC，则角B的大小为▲.12．正数x，y，z满足230xyz，则23xzy的最大值是▲.13．设{an}*()nN是等比数列，有下列四个判断：①{an2}*()nN是等比数列；②1nnaa*()nN是等比数列；③1nnaa*()nN是等比数列；④lgna*()nN是等差数列.其中正确判断的序号是▲.14．二次函数2()fxaxbxc的系数a，b，c互不相等，若111abc，，成等差数列，a，c，b成等比数列，且函数f(x)在[－1，0]上的最大值为－6，则a的值是▲.【填空题答案】1.202.23.0.224.495.456.457.5128.909.210.－311.5π612.113.①②④14.1二、本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分14分)某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生523xy男生487490z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.（1）问高二年级有多少名女生？（2）现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少名学生？【解】（1）由题设可知0.173000x，所以x=510.………………………6分（2）高三年级人数为y＋z＝3000－（523＋487＋490+510）＝990，………………9分现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为：300990993000名.………………………12分答：（1）高二年级有510名女生；（2）在高三年级抽取99名学生．……………14分16.(本题满分14分)已知正数m，n满足5m+2n=20.（1）求lgm+lgn的最大值，并求出取得最大值时的m，n的值；（2）求11mn的最小值.【解】（1）因为m，n都是正数，所以2052252210mnmnmn≥，…………………3分当且仅当5m=2n=10，即m=2，n=5时取“=”号.于是10mn≤，…………………………6分从而lgm+lgn=lgmn1≤.所以当m=2，n=5时，lgm+lgn取得最大值1.…………………………8分（2）11202052521120202020410410mnmnnmmnmnmnmn721011712410104202010nmmn≥，………………………12分当且仅当104nmmn，即4(510)10(102)33mn，时取“=”号.所以11mn的最小值为721020.…………………………14分17.(本题满分14分)在一次招聘会的面试中，每位应聘者在8道面试试题中随机抽取2道题回答，若至少答对其中1题即为及格.（1）某应聘者会答8道题中的5道题，求该应聘者及格的概率；（2）若一位应聘者及格的概率小于12，则他最多会答几道题？【解】（1）8道题中任抽2道题的方法有28种，…………………………3分其中2道题都在不会答的3题中抽出的方法有3种，故该应聘者及格的概率为2528.…………………………6分（2）如果应聘者会3道题，那么抽到2道题都不会答的方法有10种，他及格的概率为28109128142.…………………………10分当他只会2道题时，那么抽到2道题都不会答的方法有15种，他及格的概率为281513128282.故他最多会2题.…………………………14分18.(本题满分16分)YXX'Y'O·A·B60°如图，有两条相交成60°的直路XX'YY'，，交点是O.甲、乙两人分别在OX，OY上，起初甲在离O点3km的A处，乙在离O点1km的B处.后来甲沿XX'的方向，乙沿Y'Y的方向，同时以4km/h的速度步行.（1）起初两人的距离是多少？（2）th后两人的距离是多少？（3）何时两人的距离最短？【解】（1）连结AB.在△ABO中，由余弦定理，得19213cos607AB（km）.…………………………4分（2）设th后，甲由A运动到C，乙由B运动到D，易知OD=1+4t，连结CD.当304t≤时，C在射线OX上，OC=3－4t，222(34)(14)2(34)(14)cos6048247CDtttttt；…………………………8分当34t时，在△CDO中，OC=4t－3，∠DOC=120°，由余弦定理，得222(43)(14)2(43)(14)cos12048247CDtttttt.所以th后两人的距离是248247ttkm.………………………12分（3）因为221482474844CDttt（t0），所以当14t时，甲、乙两人的距离最短，最短距离为2km.…………………………16分19.(本题满分16分)（1）设集合2*2AxxnxnxNZ≤0，，，其元素个数记为an.①求an，并且证明{an}是等差数列；②设Sn为{an}的前n项和，m、k、p∈N*，且满足m+p=2k，求证：2mpkSSS≥；（2）对于（1）②中的命题，对各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由．【解】（1）①2*202AxxnxnxxnN≤0，≤≤，易知集合A中共有2n+1个元素，所以an=2n+1.…………………………3分因为12(1)1(21)2nnaann，所以数列{an}是等差数列.…………………………5分②2(321)22nnnSnn.…………………………7分因为m+p=2k，所以2222222222(2)222mpkmpmpSSSmpkmpkmp-≥0，故2mpkSSS≥.…………………………10分（2）（i）若各项均为正数的等差数列为有穷数列，且公差是负数，则（1）②中的命题不成立.反例：等差数列7,5,3,1中，S2=12，S3=15，S4=16，但S2+S4=282×15=2S3.（ii）若各项均为正数的等差数列的公差是非负数，则（1）②中的命题仍然成立.命题：设公差非负的正项等差数列{an}的前n项和为Sn，m、k、p∈N*，且满足m+p=2k，则2mpkSSS≥.证明：设等差数列{an}的公差为d（0d≥），则211(1)222nnnddSnadnan，因为m+p=2k，所以222122(2)22mpkddSSSmpkampk-22222224dmpmpdmp≥0，故2mpkSSS≥.…………………………16分20.(本题满分16分)已知函数2()1fxaxbx.（1）若不等式()0fx的解集是34xx，求a，b的值；（2）当b=2时，若不等式()0fx对一切实数x恒成立，求a的取值范围；（3）当a=1时，设()()2gxfxb，若存在1201tt，，，使得12()()0gtgt成立，求b的取值范围.【解】（1）因为22134(3)(4)07120axbxxxxxx22177120101212xxxx，所以17.1212ab，…………………………5分（2）当b=2时，不等式2()0210fxaxx.若a=0，则不等式2x－10不恒成立.…………………………7分则由题意可得2024(1)0aa，，解得1.a即a的取值范围是1.，…………………………10分（3）（方法1）222()()2212124bbgxfxbxbxbxb.因为存在1201tt，，，使得12()()0gtgt成立，所以函数g(x)在区间[0,1]内的值有正有负.所以必须有22104bb，解得234b或234.b①…………………………12分若(1)0g，即0b，亦即0b，则02b，于是必须满足12b，所以20b.②若(1)0g，即0b，则02b，必有(0)0g，不满足条件.若(1)0g，即0b，则2()1gxx，不满足条件.…………………………15分由①②解得b的取值范围是2340，.…………………………16分（方法2）因为存在1201tt，，，使得12()()0gtgt成立，所以关于x的方程g(x)=0有两个不等实根，且至少有一根在(0，1)内.由22104bb，解得234b或234.b①…………………………12分当(01)x，时，2(12)x，，由2210xbxb得213(2)4234022xbxxx，.③由①③得b的取值范围是2340，.…………………………16分