《振动力学》4单自由度系统受迫振动(b)

1••教学内容教学内容••线性系统的受迫振动线性系统的受迫振动••工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题••任意周期激励的响应任意周期激励的响应••非周期激励的响应非周期激励的响应单自由度系统受迫振动2••工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题••惯性式测振仪惯性式测振仪••振动的隔离振动的隔离••转子的临界转速转子的临界转速单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题3回顾：单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题22222)2()1()2(1sssζζβ+−+=)2(12stgζθ−=21θθθ−=相对位移tifDetxω=)(基座位移规律：tiemDkxxcxmωω21111=++&&&)(111θωβ−=tiDex22221)2()1()(ssssζβ+−=21112)(sstgs−=−ζθ绝对位移)(21θωβ−=+=tifDexxxxfkc1xmx0mkxxfc1x支承运动情况4单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题tmekxxcxMωωsin2=++&&&mxc2k2ktωeMkctmeωωsin2xMkcxtωem)sin()(θωβ−=tBtx222)2()1(1ssζβ+−=kmeB2ω=2112sstg−=−ζθ0ωω=sMk=0ω偏心质量情况)sin()(1θωβ−=tetx22221)2()1(sssζβ+−=解2：解1：5•惯性式测振仪tifDexω=x为m相对于外壳的相对位移动力方程：0)(基础位移=+++kxxcxxmf&&&&&tiemDkxxcxmωω2=++&&&DsssA22221)2()1(ζ+−=振幅：kcmfx单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性测振仪DAs≈∞→1lim0ωω∞→s⇔当仪器的固有频率远小于外壳振动频率时，仪器读数的幅值A1接近外壳振动的振幅D低固有频率测量仪用于测量振动的位移幅值，称为位移计6DsssA22221)2()1(ζ+−=当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的幅值A1与外壳加速度的幅值成正比)()2()1(12022221ωωζDssA+−=A1还可写为：)(1lim22010ωωDAs≈→0ωω0→s⇔高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为加速度计单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性测振仪kcmfx2ωD：被测物体的加速度幅值7另一种分析方法受力图tifDexω=基础位移假定为正弦:动力学方程：0)()(=−+−+ffxxkxxcxm&&&&ffkxxckxxcxm+=++&&&&x取绝对位移mxm&&)(fxxk−)(fxxc&&−tcDtkDωωωcossin+=单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性测振仪kcmfx叠加原理，解为右端两项解之和)cos()2()1(1)sin()2()1(1)(12221222θωζωθωξ−+−+−+−=tsskcDtsskkDtx)]cos(2)[sin()2()1(11222θωζθωζ−+−+−=tstssD21112sstg−=−ζθkcωmc20ωω=sζ2=0ωsmc⋅=002ωζωs=8)]cos(2)[sin()2()1()(11222θωζθωζ−+−+−=tstssDtx21112sstg−=−ζθ)]cos()2(12)2(11)[sin()2()1()2(112212222θωζζζθωζζ−+++−+−+=tssstsssD22)2(12sinssζζθ+=22)2(11cossζθ+=stgζθ212−=21θθθ−=2222)2()1()2(1sssζζβ+−+=和前述支承运动中的绝对位移法结果相同)sin()2()1()2(1212222θθωζζ+−+−+=tsssD)sin(θωβ−=tD令：令：单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性测振仪9•工程中的受迫振动问题••惯性式测振仪惯性式测振仪••振动的隔离振动的隔离••转子的临界转速转子的临界转速单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题10•振动的隔离将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为主动隔振主动隔振系数η＝隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前机器传到地基的力：tieFω0隔振后系统响应：隔振材料：k，c222)2()1(1ssζβ+−=)(01θωβ−=tiekFx21112sstg−=−ζθβkFA0=mtieFω0隔振前kcm隔振后tieFω0单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离11隔振后通过k、c传到地基上的力：222)2()1(1ssξβ+−=)(01θωβ−=tiekFx21112sstg−=−ξθkxxcF+=&1stgζθ212−=sssmcmckcζωζωωωωω2200020==⋅==)(01)(θωβω−+=tiekFkic)]([2222021)2()1()2(1θθωζζ−−+−+=tiesssF)(01)21(θωζβ−+=tiesiF单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离隔振材料：k，cmtieFω0隔振前kcm隔振后tieFω012主动隔振系数η＝隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前机器传到地基的力：tieFω0)]([22220121)2()1()2(1θθωζζ−−+−+=tiesssFF隔振后通过k、c传到地基上的力：22220max1)2()1()2(1sssFFζζη+−+==隔振系数：单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离隔振材料：k，cmtieFω0隔振前kcm隔振后tieFω013从曲线上可以看出，只有当频率比大于时，才有隔振效果；当频率比大小5以后，曲线下降得很慢，通常将频率比选在2.5至5的范围内。另外，在频率比大于以后，增加阻尼反而使隔振效果变坏。因此，为了取得较好的隔振效果，系统应具有较低的固有频率和较小的阻尼。阻尼也不能太小，否则在经过共振区时会产生较大有振动。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离010100.10.250.350.51.0ηs2隔振系数与频率比的特性曲线2214例：机器安装在弹性支承上已测得固有频率Hzfn5.12=阻尼比15.0=ζ参与振动的质量是880kg机器转速n＝2400r/min不平衡力的幅值1470N求：（1）机器振幅，（2）主动隔振系数（3）传到地基上的力幅解：频率比：单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离2.3216020=×==nfnsππωω弹性支承的刚度：Nmk62201043.5)5.122(880×=××==πω机器振动的振幅：)(0291.0)2()1(12220mmsskFB=+−×=ζ主动隔振系数：149.0)2()1()2(12222=+−+=sssζζηNFFm2191470149.001传到地基上的力幅：=×==η15•振动的隔离将地基的振动与机器设备隔离，以避免将振动传至设备，称为被动隔振被动隔振系数η＝隔振后设备的振幅隔振前设备的振幅tifDexω=基础位移：隔振前振幅：D隔振后系统响应：)(2222)2()1()2(1)(θωζζ−+−+=tiesssDtx21θθθ−=21112sstg−=−ζθstgζθ212−=tifDexω=m隔振前tifDexω=kcm隔振后单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离Dtxmax)(=η2222)2()1()2(1sssζζ+−+=16••工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题••惯性式测振仪惯性式测振仪••振动的隔离振动的隔离••转子的临界转速转子的临界转速单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题17单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临界转速•转子的临界转速气轮机、发电机等高速旋转机械在开机或停机过程中经过某一转速附近时，支撑系统经常会发生剧烈振动临界转速在数值上很接近转子横向振动的固有频率以单盘转子为例转轴质量不计ωoo1Cl/2l/2圆盘质量m固定在转轴中部圆盘质心C形心O1偏心距CO1＝e圆盘静止时，形心O1与旋转中心O重合18单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临界转速19单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临界转速国产太行发动机20一组四级涡轮。因为燃气经过每一级涡轮后渐渐失去能量，所以温度有高（红）转为低（蓝）2122ωoo1Cl/2l/2xy轴以角速度恒速旋转ω)sin,cos(teytexωω++由于离心惯性力，轴产生动挠度OO1=ftωoCo1yxeψxfy圆盘俯视图粘性阻尼力正比于圆盘形心O1的速度轴沿x和y方向的横向刚度：质心C的坐标：348lEIk=形心O1的坐标（x,y）单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临界转速23ωoo1Cl/2l/2xy)sin,cos(teytexωω++质心运动定理：tωoCo1yxeψxfy圆盘俯视图粘性阻尼力正比于圆盘形心O1的速度质心C的坐标：单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临界转速xckxtexdtdm&−−=+)cos(22ω轴沿x和y方向的横向刚度：348lEIk=yckyteydtdm&−−=+)sin(22ω即：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++tmekyycymtmekxxcxmωωωωsincos22&&&&&&右端项可看作激振力旋转矢量在x和y方向上的投影，作用点C，方向沿CO1tiemeωω224ωoo1Cl/2l/2xytωoCo1yxeψxfy圆盘俯视图设：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++tmekyycymtmekxxcxmωωωωsincos22&&&&&&单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临界转速mk/0=ω)2/(0ωζmc=0/ωω=s22221)2()1(sssζβ+−=21112sstg−=−ζθ0ω：转子不转动而作横向自由振动时的固有频率可得：⎩⎨⎧−=−=)sin()cos(1111θωβθωβteytex2122)(βeyx=+可见，形心O1的运动轨迹为一个圆22yxf+=1βe=2222)2()1(ssesζ+−=动挠度：25ωoo1Cl/2l/2xytωoCo1yxeψxfy圆盘俯视图⎪⎩⎪⎨⎧=++=++tmekyycymtmekxxcxmωωωωsincos22&&&&&&mk/0=ω)2/(0ωζmc=0/ωω=s22221)2()1(sssζβ+−=21112sstg−=−ζθξ可见，当阻尼比较小时，即使转子平衡得很好(e很小)，动挠度f也会相当大，容易使轴破坏，这样的转速称为临界转速，为：形心O1的动挠度：22221)2()1(ssesefζβ+−==单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临界转速当s=1时：ζ2ef=mkf==0ωω用每分钟转速表示：min)/(260rnffπω=26ωoo1Cl/2l/2xytωoCo1yxeψxfy圆盘俯视图⎪⎩⎪⎨⎧=++=++tmekyycymtmekxxcxmωωωωsincos22&&&&&&单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临界转速22221)2()1(sssζβ+−=21112sstg−=−ζθ当时1s0ωω即有：11≈βπθ≈1⎩⎨⎧−=−=)sin()cos(1111θωβθωβteytex可得：⎩⎨⎧−=−=teytexωωsincos)sin,cos(teytexωω++质心C的坐标：可见，这时质心的坐标为（0，0）质心C与旋转中心O重合圆盘和弯曲的轴都绕着质心C旋转自动定心现象27单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临界转速重边飞出、轻边飞出与自动定心现象28单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临界转速任何转子都不允许在临界转速附近工作，工作转速应当低于或者高出临界转速一定程度。前者称为刚性转子，后者称为柔性转子。柔性转子在起动或停车时，都要越过临界转速，为避免过大的动挠度，可采用限制挠度的滚棒或引进油阻减振等措施。29