高一数学对称问题课件

一.中心对称(关于点的对称)(一）点关于点的对称点P1(x1,y1)关于点M(m,n)对称的点P2为(2m-x1,2n-y1);特别地,P(x,y)关于原点(0,0)的对称点坐标为(-x,-y).练习:(1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点.(2)若点A(0,-3)关于点M的对称点为B(-7,5).求M的坐标.(二）直线关于点的对称直线l:Ax+By+C=0关于点M(m,n)对称的直线l1的方程为A(2m-x)+B(2n-y)+C=0.例1.求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线n的方程.解:(法一)直接代入上面结论(法二)在直线m上任取两点A,B.则A,B关于点P的对称点落在直线n上.(法三)显然直线m和直线n是平行直线,因此斜率相等.一般地：曲线f（x，y）=0关于点M（m，n）的对称曲线方程为f（2m-x，2n-y）=0特别地曲线f（x，y）=0关于原点（0，0）的对称曲线方程为f（-x，-y）=0.二.轴对称(即关于直线的对称)例2.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.解(法一)设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:线段AB⊥l即;=-1①2)7(1mn线段AB被直线l平分,即线段AB的中点21,27nm在直线l上,故有2--5=0②27m21n(一)点关于直线的对称:联立①②解得m=9n=-7∴B(9,-7)（法二）∵直线AB⊥l,直线AB过点（-7，1）∴直线AB的方程为y-1=-（x+7）即x+2y+5=021052052yxyx由解得13xy即AB的中点为（1，-3），又A（-7，1）由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）.小结:求点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称点Q(x1,y1)的方法:(1)（综合求解）由点关于直线对称的定义及直线l垂直平分线段PQ得方程组:)2(022)1(101010101CyyBxxABAxxyy由（1）（2）可解得x1,y1的值即对称点Q的坐标(2)（分步求解）可先求直线PQ的方程,然后解出直线PQ与直线l的交点即线段PQ的中点M的坐标,最后利用中点坐标公式,求出对称点Q的坐标.（3）（利用公式）点P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点Q的坐标为22000220002,2BACByAxByBACByAxAx一般地：点（x0，y0）关于直线y=x的对称点为（y0，x0）点（x0，y0）关于直线y=-x的对称点为（-y0，-x0）点（x0，y0）关于直线y=x+b的对称点为（y0-b，x0+b）点（x0，y0）关于直线y=-x+b的对称点为（b-y0，-x0+b）点（x0，y0）关于直线y=0（即x轴）的对称点为（x0，-y0）点（x0，y0）关于直线x=0（即y轴）的对称点为（-x0，y0）点（x0，y0）关于直线y=m的对称点为（x0，2m-y0）点（x0，y0）关于直线x=n的对称点为（2n-x0，y0）注：当对称轴的斜率为±1或对称轴与坐标轴垂直时可用上述方法直接求出对称点的坐标。（二）直线关于直线的对称例3.求直线m:x-y-2=0关于直线l:3x-y+3=0对称的直线n的方程.解:设直线m,l,n的斜率分别为k1,k,K2.由直线关于直线对称的定义知:直线m到直线l的角等于直线l到直线n的角.又k1=1,k=3∴3131311311222211kkkkkkkkkk即解得:k2=-703302yxyx2925yx由解得xyomnl即直线m,l,n的交点为29,25∴直线n的方程为02227)25(729yxxy即法(二):在直线x-y-2=0上任取一点如A(2,0),则A关于直线l的对称点A1落在直线n上,然后解出直线l和m的交点,由直线方程的两点式求出直线n的方程.59,517例4.已知△ABC的顶点为A(-3,0),B(0,3),C(3,-12)求:∠A的内角平分线所在的直线方程.解（法一）设:∠A平分线所在直线l的斜率为k∵直线AC到l的角等于l到直线AB的角,又kAC=-2,kAB=1∴10321211kkkkk解得∴K=3-10其方程为)3)(103(xy即0)103(3)103(yx（法二）设∠A的内角平分线交直线BC与点T∵∠A的内角平分线的斜率K∈(-2,1),∵56,23ACAB∴102356ABACTBCT∴点T分有向线段的比为CB10设T（x，y），由定比分点坐标公式得：xABCyoT31051410110312,31101010103Yx∴T310514,3110由直线方程的两点式求得∠A内角平分线所在直线的方程问（1）你会用第三种方法解这道题吗？（2）你会求∠A外角平分线所在直线的方程吗？一般地：求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率；也可以转化为求点关于直线的对称点来解决。特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为±1时可用以下结论直接代入；设直线方程为f（x，y）=0则：直线f（x，y）=0关于直线y=x对称的直线方程为f（y，x）=0直线f（x，y）=0关于直线y=--x对称的直线方程为f（-y，-x）=0直线f（x，y）=0关于直线y=x+b对称的直线方程为f（y-b，x+b）=0直线f（x，y）=0关于直线y=-x+b对称的直线方程为f（b-y，-x+b）=0直线f（x，y）=0关于直线y=0（x轴）对称的直线方程为f（x，-y）=0直线f（x，y）=0关于直线x=0（y轴）对称的直线方程为f（-x，y）=0直线f（x，y）=0关于直线y=m对称的直线方程为f（x，2m-y）=0直线f（x，y）=0关于直线x=n对称的直线方程为f（2n-x，y）=0三.对称问题的应用：（一）涉及定直线l上一点P与两定点A，B的距离和（或差）的最值问题1.若A，B两点在直线的同侧：（1）设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小；（2）直线AB与直线l的交点P使得||PA|-|PB||最大。2.若A,B两点在直线的异侧:(1)直线AB与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小;(2)设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P使得||PA|-|PB||最大.(二)涉及角平分线及光线的入射和反射问题一般都转化为对称问题来解决.例5.已知两点A(2,15),B(-3,5),在直线l:3x-4y+4=0上找一点P,使得:(1)|PA|+|PB|最小,并求出其最小值;(2)||PA|-|PB||最大,并求出其最大值.例6.自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直线的方程.练习题：(1)点M(-1,3)关于直线x+y-1=0的对称点为____关于直线y=2x的对称点为__关于点(9,0)的对称点为(2)直线x+2y-1=0关于直线x-y+2=0的对称直线的方程为________关于直线y=-x的对称直线为________关于直线x+3=0对称直线为____(3)直线3x-4y+3=0关于x轴对称的直线方程为___________关于y轴的对称直线方程为_______________关于原点的对称直线方程为(4)光线从M(-2,3)射到x轴上一点P(1,0)后被x轴反射,则入射光线和反射光线所在的直线方程分别为_____________若光线射到直线y=2x上呢?(5)光线沿着斜率为的直线l1射在斜率为的直线l2上反射,若l1和l2的交点为(-1,2),求反射光线所在的直线方程.2123(6)已知△ABC的一个顶点A(4,-1),其内角B,C的平分线方程分别为y=x-1和x=1,求边BC,AB所在的直线方程.(7)直线y=2x是△ABC中角C的平分线所在的直线方程,A(-4,2),B(3,1)求C的坐标,并判断△ABC的形状.(8)△ABC的两条高线方程为2x-3y+1=0和x+y=0,顶点A的坐标为(1,2),求BC边所在的直线方程.(9)已知△ABC的一个顶点A(-4,2),中线BD,CE所在的直线方程分别为3x-2y+2=0和3x+5y-12=0,求边BC所在的直线方程.(10)已知△ABC的一个顶点A(3,-1),AB边上的中线所在的直线方程为6x+10y-59=0∠B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0,求边BC所在的直线方程.(11)已知点A(2,0),B(-2,-2),在直线l:x+y-3=0上求一点P使|PA|+|PB|最小变形:在l上求一点Q使得||QA|-|QB||最大.(12)已知点A(4,1),B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点P使|PA|+|PB|最小.变形:在直线l上求一点Q使得||QA|-|QB||最大.