高一数学必修1(人教版)同步练习第一章第三节函数的基本性质

高中数学辅导网学年高一数学必修1（人教版）同步练习第一章第三节函数的基本性质【本讲教育信息】一.教学内容：高考复习：2.函数的基本性质二.考纲要求：（1）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质。三.命题方向及典例探究1、函数单调性的判断例1.试讨论函数)1,1(x,1xax)x(f2中的单调性（其中0a）。解析：设,1xx121则)1x)(1x()1xx)(xx(a1xax1xax)x(f)x(f2221211222221121.0)1x)(1x()1xx)(xx(,01xx,1xx1,1|xx|,01x,01x,0xx,1|x|,1|x|,1xx1222112122121212221122121即因此，当0a时，,0)x(f)x(f21即),x(f)x(f21此时函数为减函数；当0a时，,0)x(f)x(f21即),x(f)x(f21此时函数为增函数。点评：（1）证明函数单调性时，一定要严格按照定义来证明，主要步骤是：①设元；②作差（商）；③变形；④判断符号；⑤定论。变形要彻底，一般通过因式分解、配方等手段，直到符号的判定非常明显。（2）判断函数单调性的常用方法：①定义法。②两个增（减）函数的和为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；当f(x)恒为正或恒为负时，)x(f1y与)x(fy的单调性相反。③奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。④如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数。⑤如果)u(fy和)x(gu单调性相同，那么)]x(g[fy是增函数；如果)u(fy和)x(gu单调性相反，那么)]x(g[fy是减函数。高中数学辅导网⑥如果f(x)在区间D上可导且)x(f在区间D上恒大于（小于）零，则)x(fy在区间D上单调递增（减）。2、求函数的单调区间例2.求下列函数的单调区间：（1）;2x3x)x(f2（2）|;x|3)x(f（3）;3|x|2x)x(f2（4）).0x(x9x)x(f分析：求给定函数的单调区间通常采用以下方法：①利用已知函数的单调性；②图象法；③定义法（利用单调性的定义探讨）；④导数法．解析：（1）,41)23x(2x3x)x(f22对称轴为,23x∴f(x)在]23,(上是增函数，在),23[上是减函数。（2）,)0x(x3)0x(x3|x|3)x(f由一次函数的单调性可得：f(x)在]0,(上是减函数，在),0[上是增函数。（3）.)0x(3x2x)0x(3x2x)x(f22其图象如图所示。由此可知：)x(fy在]1,0[],1,(上是增函数。)x(fy在),1[],0,1[上是减函数。（4）方法一：设21xx0，则)x9x()x9x()x(f)x(f221121,xx)9xx)(xx(xx)xx(9)xx(212121212121.0xx,0xx,xx0212121由于9xx21的符号不能确定，因此需要对21xx、的取值进行讨论。当]3,0(xx21、时，有,09xx21即).x(f)x(f,0)x(f)x(f2121高中数学辅导网∴f(x)在]3,0(上是减函数。当),3(xx21、时，有,09xx21即),x(f)x(f,0)x(f)x(f2121∴f(x)在),3(上是增函数。方法二：,0x91)x(f,x9x)x(f23x或3x（舍去）。又当3x时，,0)x(f∴f(x)在),3(上是增函数，3x0时，,0)x(f∴f(x)在]3,0(上是减函数。点评：①函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行．②可以熟记一些基本函数的单调性，化一些复杂的函数为基本函数组合形式后利用已知结论判断．③函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点．3、函数的值域（最值）的求法例3.求下列函数的值域。2221x4sinx(1)y(2)yx12x(3)yx(4)y(5)yx1x1xx2cosx分析：本题主要考查函数值域问题，考查运算能力、数学转化的思想，对于（1），利用判别式法或分离常数进行转化；对于（2），利用换元法转化为二次函数的值域问题；对于（3），利用基本不等式或利用函数的单调性求解；对于（4），由函数的有界性或由几何法求解；对于（5），用求导数法求解．解析：（1）方法一：,1x12x1x1y222].1,1(y,11x12y1,2x120,1x1222即（2）方法一：设),0t(tx21得,2t1x2].21,(y),0t(211)1t(21t2t1y22方法二：,21x,0x21∴定义域为].21,(∵函数x21y,xy在]21,(上均单调递增，高中数学辅导网].21,(y,21212121y（3）方法一：当0x时，,4x4x2x4xy当且仅当2x时，取等号；当0x时，,4x4)x(2]x4)x[(y当且仅当2x时，取等号。综上，所求函数的值域为).,4[]4,(方法二：先证此函数的单调性任取21x,x且,xx21,xx)4xx)(xx()x4x(x4x)x(f)x(f212121221121∴当2xx21或21xx2时，f(x)递增，当0x2或2x0时，f(x)递减。故2x时，,4)2(f)x(f极大2x时，,4)2(f)x(f极小∴所以函数的值域为).,4[]4,(（4）方法一：利用函数的有界性将原函数化为,y2xcosyxsin,y2)xcosy1yy11x(siny1222令2y11cos且,y1ysin2,1|y1y2|,y1y2)xsin(22平方得,33y33,1y32∴原函数的值域为].33,33[方法二：数形结合法或图像法。原函数式可化为xcos2)xsin(0xcos2xsiny，此式可以看作点（2，0）和)xsin,x(cos连线的斜率，而点)xsin,x(cos的轨迹方程为,1yx22如图所示，在坐标系中作出圆1yx22和点（2，0）。高中数学辅导网由图可看出，当过（2，0）的直线与圆相切时，斜率分别取得最大值和最小值，当直线与圆的位置关系知识：可设直线方程为),2x(ky即,0k2ykx,1k1|k2|2解得,33k∴斜率的范围是],33,33[即函数xcos2xsiny的值域为].33,33[（5）函数的定义域［－1，1］。当]1,1[x时，.x1xx1x1x1)x(f222令,0)x(f得,0xx12得22x,22x（舍），,2)22(f又,1)1(f,1)1(f.1)1(f)x(f,2)22(f)x(fminmax∴值域].2,1[4、函数的奇偶性及其应用例4.判断下列函数的奇偶性，并说明理由。（1）];4,1[x1|x|x)x(f2（2）);1,1(xx1x1)1x()x(f（3）);1a,0a(211a1)x(fx（4）.)0x()x1(x)0x()x1(x)x(f分析：判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再严格按照奇偶性的定义进行推理判断．解析：（1）由于]4,1[x,1|x|x)x(f2的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非高中数学辅导网偶函数。（2）,x1x1)1x()x(f已知f(x)的定义域为,1x1其定义域关于原点对称。又x1x1)1x(x1x1)1x()x(f),x(fx1x1)1x(x1x1)x1(x1)x1)(x1()x1)(x1(x1)x1()x1(22即),x(f)x(f∴f(x)是偶函数。（3）∵f(x)的定义域为,Rx且,0x其定义域关于原点对称，并且有211a11211a1)x(fxx),x(f)211a1(21a11121a11)a1(21a1axxxxxx即)x(f),x(f)x(f为奇函数。（4）)0x()x1(x)0x()x1(x)x(f的定义域关于原点对称，∵当0x时，,0x)x1(x)]x(1)[x()x(f).0x)(x(f当0x时，,0x).0x)(x(f)x1(x)]x(1)[x()x(f),x(f)x(f∴f(x)为奇函数。例5.函数)0x)(x(fy是奇函数，且当),0(x时是增函数，若,0)1(f求不等式0)]21x(x[f的解集。解析：∵)x(fy是奇函数，.0)1(f)1(f又∵)x(fy在),0(上是增函数，∴)x(fy在)0,(上是增函数，高中数学辅导网若.1)21x(x0)21x(x),1(f0)]21x(x[f即,1)21x(x0解得4171x21或.0x4171若1)21x(x0)21x(x),1(f0)]21x(x[f,1)21x(x解得./Ox∴原不等式的解集是}.0x41714171x21|x{或点评：（1）解含有抽象符号“f”的不等式时，关键是符号“f”的“穿”和“脱”。在这里，首先要穿上符号“f”，然后再利用函数的单调性脱去“f”，使之成为能够求解的普通不等式。（2）单调性的定义实质上给出了自变量与函数值大小关系的转化。如果f(x)在D上为增函数，则Dxx21、，),x(f)x(fxx2121如果f(x)在D上为减函数，则Dxx21、，),x(f)x(fxx2121以上也是脱去符号“f”的重要手段。（3）在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反。四.知识要点点拨1、函数的单调性是