高一数学必修4(新人教)课后强化训练(含详解)第一章综合检测题

第1页第一章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．sin2cos3tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在[答案]A[解析]∵π22π，∴sin20，∵π23π，∴cos30，∵π43π2，∴tan40，∴sin2cos3tan40.2．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是()A．43B．－43C．±43D.3[答案]B[解析]由条件知，tan600°＝a－4，∴a＝－4tan600°＝－4tan60°＝－43.3．(08·全国Ⅰ文)y＝(sinx－cosx)2－1是()A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数[答案]D[解析]∵y＝(sinx－cosx)2－1＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x－1＝－sin2x，∴函数y＝(sinx－cosx)2－1的最小正周期为π，且是奇函数．4．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π的简图是()第2页[答案]A[解析]x＝0时，y0，排除B、D，x＝π6时，y＝0，排除C，故选A.5．为了得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()A．向左平移5π12个长度单位B．向右平移5π12个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位[答案]A[解析]y＝cos(2x＋π3)＝sin(2x＋π2＋π3)＝sin(2x＋5π6)＝sin2(x＋5π12)，由y＝sin2x的图象得到y＝cos(2x＋π3)的图象．只需向左平移5π12个长度单位就可以．6．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是()A.－π4，π4B.π4，3π4C.π，3π2D.3π2，2π[答案]C第3页[解析]画出函数y＝|sinx|的图象，如图所示．由函数图象知它的单调增区间为kπ，kπ＋π2(k∈Z)，所以当k＝1时，得到y＝|sinx|的一个单调增区间为π，3π2，故选C.7．(08·四川)设0≤α≤2π，若sinα3cosα，则α的取值范围是()A.π3，π2B.π3，πC.π3，4π3D.π3，3π2[答案]C[解析]∵sinα3cosα，∴cosα0tanα3或cosα0tanα3或cosα＝0sinα＝1，∴π3α4π3.[点评]①可取特值检验，α＝π2时，1＝sinπ23cosπ2＝0，排除A；α＝π时，0＝sinπ3cosπ＝－3，排除B；α＝4π3时，sin4π3＝－32，3cos4π3＝－32，∴sin4π3＝3cos4π3，排除D，故选C.②学过两角和与差的三角函数后，可化一角一函解决，sinα－3cosα＝2sinα－π30，∴sinα－π30，∵0≤α≤2π，∴π3α4π3.8．方程sinπx＝14x的解的个数是()A．5B．6C．7D．8[答案]C[解析]在同一坐标系中分别作出函数y1＝sinπx，y2＝14x的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计7个．第4页9．已知△ABC是锐角三角形，P＝sinA＋sinB，Q＝cosA＋cosB，则()A．PQB．PQC．P＝QD．P与Q的大小不能确定[答案]B[解析]∵△ABC是锐角三角形，∴0Aπ2，0Bπ2，A＋Bπ2，∴Aπ2－B，Bπ2－A，∵y＝sinx在0，π2上是增函数，∴sinAcosB，sinBcosA，∴sinA＋sinBcosA＋cosB，∴PQ.10．若函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)对任意的x都满足fπ3＋x＝fπ3－x，则fπ3的值是()A．3或0B．－3或0C．0D．－3或3[答案]D[解析]f(x)的图象关于直线x＝π3对称，故fπ3为最大值或最小值．11．下列函数中，图象的一部分符合下图的是()A．y＝sin(x＋π6)B．y＝sin(2x－π6)C．y＝cos(4x－π3)D．y＝cos(2x－π6)[答案]D[解析]用三角函数图象所反映的周期确定ω，再由最高点确定函数类型．从而求得解析式．第5页由图象知T＝4(π12＋π6)＝π，故ω＝2，排除A、C.又当x＝π12时，y＝1，而B中的y＝0，故选D.12．函数y＝2sinπ3－x－cosx＋π6(x∈R)的最小值为()A．－3B．－2C．－1D．－5[答案]C[解析]∵y＝2sinπ3－x－cosx＋π6＝2cosπ2－π3－x－cosx＋π6＝cosx＋π6，∴ymin＝－1.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．若1＋sin2θ＝3sinθcosθ则tanθ＝________.[答案]1或12[解析]由1＋sin2θ＝3sinθcosθ变形得2sin2θ＋cos2θ－3sinθcosθ＝0⇒(2sinθ－cosθ)(sinθ－cosθ)＝0，∴tanθ＝12或1.14．函数y＝16－x2＋sinx的定义域为________．[答案][－4，－π]∪[0，π][解析]要使函数有意义，则16－x2≥0sinx≥0，∴－4≤x≤42kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，∴－4≤x≤－π或0≤x≤π.15．已知集合A＝{α|30°＋k·180°α90°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|－45°＋k·360°β45°＋k·360°，k∈Z}，则A∩B＝________.[答案]{α|30°＋k·360°α45°＋k·360°，k∈Z}[解析]如图可知，第6页A∩B＝{α|30°＋k·360°α45°＋k·360°，k∈Z}．16．若a＝sin(sin2009°)，b＝sin(cos2009°)，c＝cos(sin2009°)，d＝cos(cos2009°)，则a、b、c、d从小到大的顺序是________．[答案]badc[解析]∵2009°＝5×360°＋180°＋29°，∴a＝sin(－sin29°)＝－sin(sin29°)0，b＝sin(－cos29°)＝－sin(cos29°)0，c＝cos(－sin29°)＝cos(sin29°)0，d＝cos(－cos29°)＝cos(cos29°)0，又0sin29°cos29°1π2，∴badc.[点评]本题“麻雀虽小，五脏俱全”，考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合题训练．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知sinθ＝1－a1＋a，cosθ＝3a－11＋a，若θ为第二象限角，求实数a的值．[解析]∵θ为第二象限角，∴sinθ0，cosθ0.∴1－a1＋a0，3a－11＋a0，解之得，－1a13.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴1－a1＋a2＋3a－11＋a2＝1，解之，得a＝19或a＝1(舍去)．故实数a的值为19.18．(本题满分12分)若集合M＝θsinθ≥12，0≤θ≤π，N＝θcosθ≤12，0≤θ≤π，求M∩N.[解析]解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，找出集合N和集合M对应的部分，然后求M∩N.第7页首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y＝12.如图．结合图象得集合M、N分别为M＝θπ6≤θ≤5π6，N＝θπ3≤θ≤π.得M∩N＝θπ3≤θ≤5π6.解法二：利用单位圆中的三角函数线确定集合M、N.作出单位圆的正弦线和余弦线如图所示．由单位圆中的三角函数线知M＝θπ6≤θ≤5π6，N＝θπ3≤θ≤π.由此可得M∩N＝θπ3≤θ≤5π6.19．(本题满分12分)已知cosx＋siny＝12，求siny－cos2x的最值．[解析]∵cosx＋siny＝12，∴siny＝12－cosx，∴siny－cos2x＝12－cosx－cos2x＝－cosx＋122＋34，∵－1≤siny≤1，∴－1≤12－cosx≤1，解得－12≤cosx≤1，第8页所以当cosx＝－12时，(siny－cos2x)max＝34，当cosx＝1时，(siny－cos2x)min＝－32.[点评]本题由－1≤siny≤1求出－12≤cosx≤1是解题的关键环节，是易漏掉出错的地方．20．(本题满分12分)已知y＝a－bcos3x(b0)的最大值为32，最小值为－12.(1)求函数y＝－4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x；(2)判断其奇偶性．[解析](1)∵y＝a－bcos3x，b0，∴ymax＝a＋b＝32ymin＝a－b＝－12，解得a＝12b＝1，∴函数y＝－4asin(3bx)＝－2sin3x.∴此函数的周期T＝2π3，当x＝2kπ3＋π6(k∈Z)时，函数取得最小值－2；当x＝2kπ3－π6(k∈Z)时，函数取得最大值2.(2)∵函数解析式f(x)＝－2sin3x，x∈R，∴f(－x)＝－2sin(－3x)＝2sin3x＝－f(x)，∴y＝－2sin3x为奇函数．21．(本题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示．试依图推出：(1)f(x)的最小正周期；(2)f(x)的单调递增区间；(3)使f(x)取最小值的x的取值集合．[解析](1)由图象可知，T2＝74π－π4＝32π，∴T＝3π.第9页(2)由(1)可知当x＝74π－3π＝－54π时，函数f(x)取最小值，∴f(x)的单调递增区间是－54π＋3kπ，π4＋3kπ(k∈Z)．(3)由图知x＝74π时，f(x)取最小值，又∵T＝3π，∴当x＝74π＋3kπ时，f(x)取最小值，所以f(x)取最小值时x的集合为xx＝74π＋3kπ，k∈Z.22．(本题满分14分)函数f(x)＝1－2a－2acosx－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)．(1)求g(a)；(2)若g(a)＝12，求a及此时f(x)的最大值．[解析](1)由f(x)＝1－2a－2acosx－2sin2x＝1－2a－2acosx－2(1－cos2x)＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)＝2cosx－a22－a22－2a－1.这里－1≤cosx≤1.①若－1≤a2≤1，则当cosx＝a2时，f(x)min＝－a22－2a－1；②若a21，则当cosx＝1时，f(x)min＝1－4a；③若a2－1，则当cosx＝－1时，f(x)min＝1.因此g(a)＝1(a－2)－a22－2a－1(－2≤a≤2)1－4a(a2).(2)∵g(a)＝12.∴①若a2，则有1－4a＝12，得a＝18，矛盾；②若－2≤a≤2，则有－a22－2a－1＝12，即a2＋4a＋3＝0，∴a＝－1或a＝－3(舍)．第10页∴g(a)＝12时，a＝－1.此时f(x)＝2cosx＋122＋12，当cosx＝1时，f(x)取得最大值为5.