高一数学必修4第二次月综合能力测试

第二次月综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α是第四象限角，则－α一定是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[答案]A[解析]－α与α的终边关于x轴对称，则－α是第一象限角．2．弧长为6，半径为2的扇形圆心角的弧度数的绝对值等于()A．1B．2C．3D．6[答案]C[解析]|α|＝lr＝62＝3.3．(2010·福建高考)计算1－2sin222.5°的结果等于()A.12B.22C.33D.32[答案]B[解析]1－2sin222.5°＝cos45°＝22.4．角α的终边过点(－1,2)，则cosα的值为()A.255B.55C．－255D．－55[答案]D[解析]设P(－1,2)，x＝－1，y＝2，则r＝x2＋y2＝5，则cosα＝xr＝－15＝－55.5．已知tanφ＝－3，则sinφ的值是()A.31010B.310C．±31010D．±310[答案]C[解析]由于tanφ＝sinφcosφ，则cosφ＝sinφtanφ＝－13sinφ，又sin2φ＋cos2φ＝1，则sin2φ＋－13sinφ2＝1，解得sinφ＝±31010.6．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么()A.AO→＝OD→B.AO→＝2OD→C.AO→＝3OD→D．2AO→＝OD→[答案]A[解析]∵D为BC边中点，∴OB→＋OC→＝2OD→.∴2OA→＋OB→＋OC→＝2OA→＋2OD→＝0.∴OA→＋OD→＝0，∴AO→＝OD→.7．在四边形ABCD中，AC→＝AB→＋AD→，且|AB→|＝|AD→|，则四边形ABCD是()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形[答案]B[解析]∵AC→＝AB→＋AD→，∴四边形ABCD是平行四边形．又|AB→|＝|AD→|，∴四边形ABCD是菱形．8．将函数y＝cos2x的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是()A．y＝cos2x＋π6＋1B．y＝cos2x－π3＋1C．y＝cos2x＋π3＋1D．y＝cos2x－π6＋1[答案]C[解析]将函数y＝cos2x的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得函数y＝cos2x＋π6的图象，再把y＝cos2x＋π6的图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是y＝cos2x＋π6＋1＝cos2x＋π3＋1.9．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()A.PA→＋PB→＝0B.PC→＋PA→＝0C.PB→＋PC→＝0D.PA→＋PB→＋PC→＝0[答案]B[解析]∵BC→＋BA→＝2BP→，由向量加法的平行四边形法则，知P为AC的中点．如图．∴PC→＋PA→＝0成立．10．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈π2，π，若a·b＝25，则tanα＋π4等于()A.13B.27C.17D.23[答案]C[解析]由题意，得cos2α＋sinα(2sinα－1)＝25，整理得sinα＝35.又α∈π2，π，则cosα＝－45.所以tanα＝－34.则tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝17.11．已知a＝(x，－3)，b＝(－2,1)，c＝(1，y)，若a⊥(b－c)，b∥(a＋c)，则b与c的夹角为()A．0B.π4C.π2D.3π4[答案]C[解析]b－c＝(－3,1－y)，a＋c＝(x＋1，y－3)，所以有－3x－31－y＝0，－2y－3－x＋1＝0，解得x＝1，y＝2.设b与c的夹角为θ，则cosθ＝－2＋25×5＝0，所以θ＝π2.12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数y＝f(x)的图象恰好经过k个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数．下列函数中为一阶格点函数的是()A．y＝sinxB．y＝cosx＋π6C．y＝lgxD．y＝x2[答案]A[解析]函数y＝sinx的值域是[－1,1]，其中整数函数值有三个－1,0,1，要使sinx为整数，且x也为整数，x只能为0，则函数y＝sinx是一阶格点函数；可以判断函数y＝cosx＋π6是0阶格点函数，函数y＝lgx的图象经过点(10m，m)，m∈Z，则函数y＝lgx不是一阶格点函数；函数y＝x2的图象经过无数个格点，如(1,1)，(2,4)，(3,9)，…，则函数y＝x2不是一阶格点函数．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，若a∥b，则实数x＝________.[答案]12[解析]∵a∥b，∴1－2x＝0.∴x＝12.14．已知向量a、b的夹角为π3，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|的值是________．[答案]7[解析]|a－b|＝a－b2＝a2－2a·b＋b2＝7.15．函数y＝sinx＋cosx的定义域是________．[答案]2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)[解析]要使函数有意义，自变量x的取值需满足sinx≥0，cosx≥0，解得2kπ≤x≤2kπ＋π2(k∈Z)．16．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，－π≤φπ)的图象如图所示，则φ＝________.[答案]9π10[解析]T＝2×2π－3π4＝5π2，故ω＝45.∴y＝sin45x＋φ.令45×3π4＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，则φ＝2kπ－11π10，k∈Z.又－π≤φπ，则φ＝9π10.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.[解析](1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式，求得a·b＝－6，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝13，∴|a＋b|＝13.18．(本题满分12分)(2010·北京高考)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x.(1)求fπ3的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析](1)fπ3＝2cos2π3＋sin2π3＝－1＋34＝－14.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)＝3cos2x－1，x∈R.因为cosx∈[－1,1]，所以，当cosx＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx＝0时，f(x)取最小值－1.19．(本题满分12分)在△AOB中，C是AB边上的一点，且BC→＝λCA→(λ0)，若OA→＝a，OB→＝b.(1)当λ＝1时，用a、b表示OC→；(2)用a、b表示OC→.[解析](1)当λ＝1时，BC→＝CA→，即C是AB的中点，∴OC→＝12(OB→＋OA→)＝12a＋12b.(2)∵BC→＝λCA→，∴BC→＝λ1＋λBA→.又BA→＝OA→－OB→＝a－b，∴BC→＝λ1＋λ(a－b)．∴OC→＝OB→＋BC→＝b＋λ1＋λ(a－b)＝λ1＋λa＋11＋λb.20．(本题满分12分)设关于x的函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－πφ0)的图象的一条对称轴是直线x＝π8.(1)求φ的值；(2)求tanφ＋π3的值．[解析](1)由题意得fπ8是函数f(x)的最值，则fπ8＝1或fπ8＝－1，又fπ8＝sinπ4＋φ，则sinπ4＋φ＝1或sinπ4＋φ＝－1，又－πφ0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)得tanφ＋π3＝tanπ3－3π4＝tanπ3－tan3π41＋tanπ3tan3π4＝3＋11－3＝－2－3.21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x.(1)在给定的坐标系(如图)中，作出函数f(x)在区间[0，π]上的图象；(2)求函数f(x)在区间－π2，0上的最大值和最小值．[分析]化简函数f(x)的解析式为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，利用“五点法”画出图象，并讨论最值．[解析](1)f(x)＝cos2x－sin2x＝2cos2x＋π4＝2sinπ2＋2x＋π4＝2sin2x＋3π4.列表如下：x0π83π85π87π8π2x＋3π43π4π3π22π5π211π4f(x)10－2021描点、连线得f(x)在[0，π]上的图象，如图所示．(2)由(1)，得f(x)＝2sin2x＋3π4.当x∈－π2，0时，2x＋3π4∈－π4，3π4，∴当2x＋3π4＝π2，即x＝－π8时，f(x)取得最大值为2；当2x＋3π4＝－π4，即x＝－π2时，f(x)取得最小值为－1.22．(本题满分12分)已知向量a＝sinx＋π2，sinx，b＝(cosx，－sinx)，函数f(x)＝m(a·b＋3sin2x)(m∈R且m0)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移π6个单位长度得到g(x)的图象，试探讨：当x∈[0，π]时，函数g(x)与y＝1的图象的交点个数．[分析](1)将函数f(x)的解析式化简为Asin(ωx＋φ)的形式来求出周期；(2)先求出函数g(x)的解析式，通过讨论函数g(x)的最大值与1的大小来确定交点的个数．[解析](1)a·b＝sinx＋π2cosx－sin2x＝cosxcosx－sin2x＝cos2x－sin2x＝cos2x，则f(x)＝m(cos2x＋3sin2x)＝2msin2x＋π6(m∈R且m0)，∴T＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)将函数f(x)的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，得y＝2msinx＋π6，然后再将函数y＝2msinx＋π6的图象向右平移π6个单位长度得到g(x)＝2msinx－π6＋π6＝2msinx.由于m0，则当x∈[0，π]时，0≤g(x)≤2m，即函数g(x)的最大值是2m.当2m1，即m12时，函数g(x)与y＝1的图象有2个交点；当2m＝1，即m＝12时，函数g(x)与y＝1的图象仅有1个交点；当02m1，即0m12时，函数g(x)与y＝1的图象没有交点．