高一数学必修一总结

必修一精品归纳知识与方法集合的重点内容1．集合的三个重要性质：确定性，互异性，无序性确定性：一个元素属于集合A，或者不属于集合A两者必有一个成立，也就是说一个元素能否属于集合A是明确的互异性：集合中的元素是不会重复的无序性：排列的顺序是不受限制的2.集合的三种表示方法：列举法，描述法，图示法列举法：只用于有限集合，能一个个列出来的描述法：用于描述集合中的元素具有的共同特征图示法：考试的时候写答案不要写这个蛋疼的玩意儿，这个鬼东西是让你分清元素用的。3.含有n个元素的集合有2的n次方的子集，有2的n次方-1个真子集，有2的n次方-2个非空真子集4.集合运算的相关概念并集：通俗来讲，就是当求所有集合的相加起来而得到的新集合时，新集合的元素来源于之前集合的所有元素，有相同元素的话只出现一次就好了。举个例子：设A={4，5，6，8}，B={3，5，，7，8}，求AUB交集：集合与集合之间有相同元素所组成的新集合补集：首先给你一个集合A，它在全集U里面，那么处于A所剩余的U就叫做U的补集（用图示法比较容易懂）课本P13页阅读与思考公式提取：Card（AUB）=card(A)+card(B)-card(AnB)用来算集合的个数的。集合的内容就讲到这里。函数及其表示现在我们来讲一下函数这个东西。光是第一节就有很多内容了，不要给函数的表示这几个字给骗了，我宁愿叫“函数的所有性质”之类的。前面的映射什么的我们直接省略掉，直接上重点！！1.函数的组成：一个完整的函数都是有定义域，解析式，值域组成的。注意，值域是由定义域和解析式组成的。做题的时候尤其要考虑定义域！！定义域优先考虑，没有它什么都是白搭！！2.现在我们来学习几种函数解析式的求法：换元法，消元法待定系数法，赋值法等等等等。。。换元法；例一已知f（x）=x²+x，求f（x+2）解：把x+2当成自变量带进去算就是了，答案是：f（x+2）=x²+5x+6例二：已知f（x+2）=x²+5x+6，求f（x）。例三;已知f（x+1）=x²+2x-9，求f（x）配凑法：例四已知f（√x+1）=x+2√x，求f（x）解：原式=（√x）²+2√x+1-1=（√x+1）²-1所以f（x）=x²-1（x≥1）此题也可以用换元法做（不管那个方法都要考虑定义域，新元的定义域往往会变）待定系数法：例五已知f（x）是一元二次函数，若经过原点且f（x+1）=f（x）+x+1.求f（x）解：因为f(x)是一元二次函数所以设f(x)=ax²+bx+c(a≠0)因为f(x+1)=f(x)+x+1a(x+1)+b(x+1)+c=ax+bx+c+x+12ax+a+b=x+1所以2a=1,a+b=1所以a=1/2,b=1/2又因为f(0)=0所以c=0所以f(x)=x/2+x/2消元法：这种方法实质上就是解函数方程，关键是构造出方程组例六：例七：函数解析式的求法到这里告一段落，接下来我们来看下如何求解函数的值域，函数值域的求法更加多样化，有配方法，判别式法，分离常数法，最值法，换元法，不等式法一大堆我们一一解答配方法：对可以化成二次函数模型的函数常用这个方法例八：（1）y=-2x²+5x+6（2）y=-sin²x-3cosx+3（0,6）最值法：利用函数最大值与最小值来判断，代表函数为三角函数。不讲判别式法：实质是方程思想，通过对二次方程的实根的判别求值域。例九：求函数y=（2x+1）/（x²-2x+2）的值域解：可得到yx²-2（y+1）x+2y-1=0，把这个函数看成是关于x的二次函数。算△≥0，即可以解出值域答案：3-√13/2≤y≤3+√13/2详细的内容参照《判别式法》独立课件与相关练习分离常数法：这种方法多用于分数型函数的值域例十：（1）y=(3cosx+1)/(cosx+2)的最值解：y=(3cosx＋1)/(cosx＋2)y=[(3cosx＋6)－5]/(cosx＋2)y=3－[5/(cosx＋2)]因为：1≤cosx＋2≤3则：5/3≤5/(cosx＋2)≤5得：－2≤3－[5/(cosx＋2)]≤4/3即：y∈[－2，4/3]（2）y=2x+3/3x-2基本不等式法：主要是用于能够化成基本不等式样子的函数，要求熟练掌握基本不等式例十二：（1）y=x+1/x（2）y=3x/x²+4解第二个：分子分母同时除以x，得到y=3/{x+（4/X）},则当x＞0，x+（4/X）≥4；当x＜0的时候，则x+（4/X）=-[-x+(4/-x)]≤-4所以答案为[-3/4,3/4]图像法：如果函数的图像比较容易作出，则可根据图像直观的得出函数的值域，尤其是求分段函数的值域，我们结合题目看看现在我们来讲一下函数的单调性，函数单调性，说白了就是一个函数在某个区间内一直单调递增或者单调递减。证明函数的单调性通常有三种方法：定义法（高一菜鸟级方法），导数法（高二学会高三必备），图像法（此方法只用于题目图比较好做的，看人品）先看一道题目例十一：证明函数f（x）=ax/x²-1（a＞0）在（-1，1）上是减函数。方法一（定义法）：设-1＜X1＜X2＜1，则f（x1）-f（x2）=ax1/x1²-1-ax2/x2²-1=（ax1x2²-ax1-ax2x1²+ax2）/（x1²-1）（x2²-1）=a（x2-x1）（x1x2+1）/（x1²-1）（x2²-1）因为-1＜X1＜X2＜1，所以x2-x1＞0，x1x2+1＞0，（x1²-1）（x2²-1）＞0。又a＞0，所以命题得证{用定义法证明函数单调性的一般步骤可简单为：设值，作差，变形，定号，作结。变形的目的在于确定差的符号因此变形是最重要的的一个步骤}方法二（导数法）：f’(x)=a(x²-1)-ax（2x）/（x²-1）²=-a（x²+1）/（x²-1）²，显然当-1＜x＜1时候，f’（x）＜0，所以命题已证这些都是单一函数的求单调性，在高考中求单调性往往，不，绝对是复合函数的单调性求解。下面就来简单讲一下复合函数单调性，详情见PPT[简直呕血制作]。回到单调性的问题上面来，一个复合函数的单调性是由内外层两个函数的单调性决定的，具体口诀是：两个增最后增，两个减最后增，一增一减最后减。什么意思呢。比如：y=log2（-x²+2x+5）这样的函数的单调性，由主题函数y=log2x，和副函数y=-x²+2x+5。由于在不同的区间，两个函数的单调性不同，所以在这些不同的区间内，该复合函数的单调性也会不一样。[特别注意！复合函数的定义域要非常小心]结合例题以及练习题，单调性的内容到此结束。接下来进入奇偶性的内容。函数的奇偶性：一般地，对于函数f(x)⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x）就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x）就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a）≠f(-a），存在一个b，使得f(-b）≠-f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称特殊的，f（x）=0既是奇函数，又是偶函数。说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。④如果一个奇函数f(x）在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f（x）=x³【-∞，-2】或【0，+∞】（定义域不关于原点对称）⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f（x）=0注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有f(x)=0是既奇又偶函数对于函数的奇偶性，高考通常会在选择填空题设置考点，题目的求解往往可根据图像进行判断。要求对奇偶性的概念及其特点熟练掌握。结合例题和题目进入周期性的内容周期性：一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使)()(xfTxf恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。二．重要结论1、fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、若函数fxafxa，则xf是以2Ta为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=xf1(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=xf1(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、1()()1()fxfxafx，则xf是以2Ta为周期的周期函数.7、1()()1()fxfxafx，则xf是以4Ta为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1xfxf(x∈R，a0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。10、函数()yfxxR的图象关于两点0,Aay、0,Bbyab都对称，则函数()fx是以2ba为周期的周期函数；11、函数()yfxxR的图象关于0,Aay和直线xbab都对称，则函数()fx是以4ba为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f(2T)=0.基本初等函数