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必修二综合能力检测一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)1.直线3x+3y-1=0的倾斜角为()A.60°B.30°C.120°D.150°[答案]C斜率k=-3,由tanα=3,0°α90°知α=60°,∴倾斜角为180°-60°=120°.2.设E、F、G分别为四面体ABCD的棱BC、CD、DA的中点,则此四面体中与过E、F、G的截面平行的棱有()A.0条B.1条C.2条D.3条[答案]C[解析]如图,显见EF是△BCD中位线,BD∥EF,∴BD∥平面EFG,同理AC∥平面EFG.3.直线3x+4y-13=0与圆(x-2)2+(y-3)2=1的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.无法判定[答案]C[解析]圆心(2,3)到直线3x+4y-13=0的距离d=1,圆半径为1,∴直线与圆相切.4.已知A(0,8),B(-4,0),C(m,-4)三点共线,则实数m的值是()A.-6B.-2C.2D.6[答案]A[解析]kAB=8-00+4=2,kBC=0+4-4-m∵kAB=kBC∴m=-6.故选A.5.已知m、n是两条不同直线,α、β、γ是三个不同平面.下列命题中正确的是()A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m⊥α,n⊥α,则m∥nC.若m∥α,n∥α,则m∥nD.若m∥α,m∥β,则α∥β[答案]B[解析]如图(1)α∩β=l,l⊥γ,则α⊥γ,β⊥γ,故A错;由线面垂直的性质知B正确;如图(2)β∥α,m⊂β,n⊂β,则m∥α,n∥α,但m与n可相交,故C错;如图(3),α∩β=l,m⊄α,m⊄β,m∥l,有m∥α,m∥β,∴D错.6.下列说法中正确的个数有()①两平面平行,夹在两平面间的平行线段相等;②两平面平行,夹在两平面间的相等的线段平行;③两条直线被三个平行平面所截,截得的线段对应成比例;④如果夹在两平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个[答案]B[解析]①②可类比夹在平行线间的线段.①正确,如图(一),∵AB∥CD,∴AB与CD确定一个平面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD,而α∥β,∴AC∥BD,∴四边形ABDC是平行四边形,∴AB=CD;②错,如图(一)设C在β内射影为O,以O为底面圆心,CD为母线的圆锥任一母线长度都等于AB,但只在CD位置,有AB∥CD;③正确,如图(二)平面α∥β∥γ,直线l1与三个平面交于A、B、C,l2与三个平面交于D、E、F,连结AF交β于M(或连结DC),则由平行平面的性质及相似三角形知识有:ABBC=AMMF=DEEF;也可过A作直线l∥l2分别交β,α于K,S,同理ABBC=AKKS=DEEF(或过B,C作直线与l2平行,或过D、E、F中任一点作直线与l1平行均可).(可类比平行线截得比例线段定理);④错,如图(三),∵AB綊CD綊EF,∴四边形ABDC,CDFE,ABFE均为平行四边形,从而AC∥BD,CE∥DF,∴AC∥α,CE∥α,又AC∩CE=C,∴β∥α.但在图(四)情形下A1C1綊A2C2綊AC,但两平面ABB1A1与BCC1B1相交.7.若a0,b0,c0,则直线ax+by+c=0必不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案]B[解析]直线ax+by+c=0化为截距式为x-ca+y-cb=1∵a0,b0,c0,∴-ca0,-cb0,故直线过一、三、四象限,故选B.8.三条直线l1:x-y=0;l2:x+y-2=0;l3:5x-ky-15=0围成一个三角形,则k的取值范围()A.k≠±5且k≠1B.k≠±5且k≠-10C.k≠±1且k≠0D.k≠±5[答案]B[解析]l1与l2相交,交点P(1,1),若围成三角形,则P不在l3上,∴5-k-15≠0,∴k≠-10;由l3∥l1,即51=-k-1,∴k=5,由l3∥l2,即51=-k1,∴k=-5.因此欲围成三角形,则k≠±5且k≠-10,∴选B.9.若圆心在x轴上,半径为5的圆C位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆C的方程是()A.(x-5)2+y2=5B.(x+5)2+y2=5C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5[答案]D[解析]设圆心C(a,0),由题意r=5=|a|5,∴|a|=5,a0,∴a=-5,∴方程为(x+5)2+y2=5.10.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥23,则k的取值范围是()A.[-34,0]B.(-∞,-34]∪[0,+∞)C.[-33,33]D.[-23,0][答案]A[解析]如图,设MN中点为H,连CH,CN,则△CHN为Rt△,又HN≥3.R=2,故CH≤1.由圆心到直线的距离等于CH可得:|3k+1|k2+1≤1.解得-34≤k≤0,故斜率范围是[-34,0],选A.11.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,过对角线BD′的一个平面交AA′于E、交CC′于F,则以下结论中错误的是()A.四边形BFD′E一定是平行四边形B.四边形BFD′E有可能是正方形C.四边形BFD′E有可能是菱形D.四边形BFD′E在底面投影一定是正方形[答案]B[解析]平面BFD′E与相互平行的平面BCC′B′及ADD′A′交线BF∥D′E,同理BE∥D′F,故A正确.特别当E、F分别为棱AA′、CC′中点时,BE=ED′=BF=FD′,四边形为菱形,其在底面ABCD内的投影为正方形ABCD,∴选B.12.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,∠A=90°,且BC1⊥AC,过C1作C1H⊥底面ABC,垂足为H,则点H在()A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.△ABC内部[答案]B二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)13.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=a3,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=__________.[答案]223a[解析]上、下底面平行与截面相交的交线PQ∥MN,又MN∥A1C1∥AC,∴PQ∥AC,∵DP=2a3,∴DQ=2a3,∴PQ=223a.14.与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________.[答案]10x+15y-36=0[解析]设方程为2x+3y+m=0由已知得:-m3-m2=6∴m=-365方程为10x+15y-36=0.15.设α和β为不重合的两个平面,给出下列结论:(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;(4)直线l与α垂直等价于l与α内的两条直线垂直.其中正确结论的序号是________.[答案](1)(2)[解析](1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α∥β是正确的;(2)由线面平行判定定理知(2)正确;(3)由α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,不能推出α和β垂直;(3)不正确;(4)直线l与α垂直能够推出l与α内的两条直线垂直,而l与α内的两条直线垂直不能推出直线l与α垂直,∴(4)不正确.16.(2010·浙江理,12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是________cm3.[答案]144[解析]由三视图知,该几何体是一个正四棱台和一个正四棱柱的组合体,四棱台下底面边长为8,上底面边长为4,高为3,上面正四棱柱底面边长为4,高为2,则体积为V=13(42+82+4×8)×3+4×4×2=144cm3.三、解答题(本大题共6个大题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)如图所示,已知A(1,3),B(-1,-1),C(2,1).求△ABC的BC边上的高所在的直线方程.[解析]设BC边上的高为AD,∵kBC=1-(-1)2-(-1)=23,∴kAD=-1kBC=-32,∴高线AD所在直线方程为y-3=-32(x-1)即3x+2y-9=0.18.(本小题满分12分)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、Q分别是AD1、BD上的点,且AP=BQ,求证:PQ∥平面DCC1D1.[解析]解法1:过P作PM∥AD交D1D于M,过Q作QN∥BC交CD于N.∵正方体中AP=BQ,∴D1P=DQ,由作法知:PMAD=D1PD1A=DQDB=QNBC=QNAD,∴PM=QN,又PM∥QN,∴四边形PQNM为平行四边形,∴PQ∥MN,又PQ⊄平面CDD1C1,MN⊂平面CDD1C1,∴PQ∥平面DCC1D1.解法2:过P作PK∥D1D交AD于K,连QK,可证平面PQK∥平面DCC1D1,于是PQ∥平面DCC1D1.解法3:连结AQ并延长交直线CD于E,可证PQ∥D1E得证.19.(本小题满分12分)(09~10学年湖南邵阳市高一期末)已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点.(1)当直线l过圆心C时,求直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.[解析](1)圆心C(1,0),因为直线l过点P(2,2)与圆心,所以直线l的方程为y-02-0=x-12-1,化简得:2x-y-2=0.(2)直线l的方程为:x-y=0圆心到直线l的距离d=|1-0|2=22,又圆的半径r=3,∴弦AB的长=2r2-d2=29-12=34.20.(本小题满分12分)直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.[解析](1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,当然相等∴a=2,方程即3x+y=0;若a≠2,则a-2a+1=a-2,即a+1=1∴a=0即方程为x+y+2=0,∴a的值为0或2.(2)∵过原点时,y=-3x经过第二象限不合题意,∴直线不过原点,故a+1=0a-20或a-20a-2a+10∴a≤-1.21.(本小题满分12分)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綊12AD,BE綊12FA,G、H分别为FA、FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?(3)设AB=BE,证明:平面ADE⊥平面CDE.[解析](1)由题设知,FG=GA,FH=HD,所以GH綊12AD.又BC綊12AD,故GH綊BC,所以四边形BCHG是平行四边形.(2)C、D、F、E四点共面.理由如下:由BE綊12AF,G是FA的中点知,BE綊GF,所以EF∥BG,由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC、FH共面.又点D直线FH上,所以C、D、F、E四点共面.(3)连结EG,由AB=BE,BE綊AG,及∠BAG=90°知ABEG是正方形,故BG⊥EA.由题设知,FA、AD、AB两两垂直,故AD⊥平面FABE,∴BG⊥AD,∴BG⊥平面ADE,∴BG⊥ED.又EC∩EA=E,所以BG⊥平面ADE.由(1)知,CH∥BG,所以CH⊥平面ADE.由(2)知F∈平面CDE,故CH⊂平面CDE,得平面ADE⊥平面CDE.22.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正切值;(3)求点O到平面ABM的距离.[解析](1)证明:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD.所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因
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