高一数学期中考试模拟试卷

2014-2015学年第二学期苏州高一数学期中考试模拟试卷（必修5：解三角形、数列、不等式）2015.4.251.不等式13xx的解集为．1(,0)(,)22.已知x＞2，则y＝21xx的最小值是．43.在△ABC中，若A＝60°，BC＝43，AC＝42，则角B的大小为________．45°解∵BCAC，∴AB，所以角B是锐角，由正弦定理得，BCsinA＝ACsinB，即sinB＝AC·sinABC＝42×3243＝22，所以B＝45°.4.数列{}na中,322nna,则25826aaaa=.9925.在等差数列na中，已知2811aa，则3113aa的值为______.226.公比为2的等比数列{}na的各项都是正数，且41016aa，则10a．327.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝________.解由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则S5S2＝a11＋25a11－22＝－11.8.设等比数列na的前n项和为nS，若367,63SS，则987aaa．4489.当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋40恒成立，则m的取值范围为_________．(－∞，－5]10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝________.30°11.设nS，nT分别是等差数列na，nb的前n项和，已知2142nnSnTn，*nN，则1011318615aabbbb．417812.已知一个直角三角形的周长为12，则它的面积的最大值为.4113.在等差数列{an}中，已知首项10a，公差0d．若1260aa≤，23100aa≤，则155aa的最大值为．20014．已知函数xyab(0)b的图象经过点P(1，3)，如下图所示，则411ab的最小值为．923Oxy（第13题）1P方法一：由图可知，a＞1，点(1，3)在函数y=ax+b的图象上，所以a＋b＝3．1＜a＜3，0＜b＜2．4a－1+1b＝12×2(4a－1+1b)＝12［(a－1)+b］(4a－1+1b)＝12(5+4ba－1+a－1b)≥92．当4ba－1＝a－1b时，即a＝73，b＝23时，4a－1+1b＝92．故4a－1+1b的最小值为92．二、解答题15(本题满分14分).在锐角ABC中，,,abc分别为角,,ABC所对的边，且32sinacA.（1）求角C的大小；（2）若7,cABC的面积为332，求ab的值.解：（1）3C……………6分（2）5ab……………14分16.（本小题满分14分）.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（m），三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S（m2）．（1）求S关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）求S的最大值．x113(17)第题311解：（1）由题设，得9007200822916Sxxxx，………………………6分定义域为8,450x．………………………7分（2）因为8450x，所以27200720022240xxxx≥，……………………10分当且仅当60x时等号成立．从而676S≤．………………………13分答：当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m2．……………14分17(本题满分15分).设集合A为函数2ln(28)yxx的定义域，集合B为函数11yxx的值域，集合C为不等式1()(4)0axxa的解集.(1)求AB；(2)若RCCA,求a的取值范围.解：(1)由2280xx，解得(4,2)A…………………2分又11(1)111yxxxx，所以,31,B…………4分所以4,31,2AB…………………………………6分(2)因为,42,RCA，由1()(4)0axxa可知0a………8分①当0a时，由21()(4)0xxa，得21[4,]Caa显然不满足RCCA；……………………………………10分②当0a时，由21()(4)0xxa，得21(,4],Ca，要使RCCA，则212a，解得202a或202a，又0a，所以202a…14分综上所述，所求a的取值范围是2[,0)2…………………15分18.(本题满分15分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解(1)∵x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.(4分)(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图a，当g(x)的图象恒在x轴上方，满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.(7分)②如图b，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即Δ≥0，x＝－a2－2，g－2≥0，即a2－43－a≥0，－a2－2，4－2a＋3－a≥0⇔a≥2或a≤－6，a4，a≤73，解之，得a∈∅.(10分)③如图c，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，即Δ≥0，x＝－a22，g2≥0，即a2－43－a≥0，－a22，4＋2a＋3－a≥0⇔a≥2或a≤－6，a－4，a≥－7⇔－7≤a≤－6.(13分)综合①②③，得a∈[－7,2]．(14分)19(本题满分16分).已知函数f(x)＝2x＋33x，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f1an，n∈N*，(1)求数列{an}的通项公式；(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn；(3)令bn＝1an－1an(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn.解(1)∵an＋1＝f1an＝2an＋33an＝2＋3an3＝an＋23，∴{an}是以23为公差的等差数列．又a1＝1，∴an＝23n＋13.………4分(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)＝－43(a2＋a4＋…＋a2n)＝－43·n53＋4n3＋132＝－49(2n2＋3n)．………10分(3)当n≥2时，bn＝1an－1an＝123n－1323n＋13＝9212n－1－12n＋1，又b1＝3＝92×1－13，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝92×1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝921－12n＋1＝9n2n＋1，………16分20.(本题满分16分)设数列{}na的前ｎ项和为nS，已知1(,nnSpSqpq为常数，*nN），1232,1,3aaaqp（1）求ｐ，ｑ的值；（2）求数列{}na的通项公式；（3）若0ba则ba11，那么是否存在正整数ｍ，ｎ，使1221mnmnSmSm成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（ｍ，ｎ）；若不存在，说明理由。20．解：⑴由题意，知2132,,SpaqSpSq++即32,333,pqqppq+++解之得1,22pq．………4分⑵由⑴知，1122nnSS，①当2n≥时，1122nnSS，②①②得，1122nnaan≥，………………………6分又2112aa，所以*112nnaanN，所以na是首项为2，公比为12的等比数列，所以212nna．…………………………8分⑶由⑵得，12(1)124(1)1212nnnS，由1221mnmnSmSm，得114(1)221214(1)2mnmnmm+，即2(4)422(4)221nmnmmm，………………………10分即212(4)221nmm，因为210m，所以2(4)2nm，所以4m，且122(4)24nmm++，()因为*mN，所以1m或2或3．……………………………12分当1m时，由()得，2238n，所以1n；当2m时，由()得，22212n，所以1n或2；当3m时，由()得，2220n，所以2n或3或4，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对(,)mn为：(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)．……………………………………………16分