高一数学第八讲函数应用题(XUES)

1高一数学第八讲函数应用题应用题是高考考查的重点，也是考生得分的难题，近年来该类试题的特点日趋鲜明：1.应用题的信息来源真实可靠；2.应用题的个数明显在增加；3.注重考查学生动脑、动手能力及应用的能力。从高考应用题来看，所涉及的数学知识无外乎函数、方程、不等式、数列、立体几何等高中数学中最基本、最重要的内容，其中尤其以函数应用性问题最多。解答函数型应用题，一般先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答．因此，这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用．一、基础知识1.解应用题的一般思路可表示如下2.解应用题的一般程序（1）读：即读懂题目。应包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。“整体理解”就是弄清题目所述的事件和研究对象；“局部理解”是指抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；“分析关系”就是根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；“领悟实质”是指抓住题目中的主要问题、正确识别其类型。（2）建：即建立数学模型。是将实际问题抽象为数学问题，其直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型。（3）解：即求解数学模型。根据所建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解，其中特别注意实际问题中对变量范围的限制及其他约束条件。（4）答：即将数学结论还原给实际问题的结果.既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求，从而对原问题作出合乎实际意义的回答。3.注意语言表达的完整性数学应用题的求解不同于一般的数学运算题，有人比喻它是数学中的小作文，因此解数学应用题要做到“有头有尾”，把问题中的普通语言转化为数学语言，引入变量与字母，通过寻找关键词和关键量之间的数量关系或列表分析或画出图形，将数学建模的过程详细地写出来，建立数学模型后，要准确地求解，并注意计量单位的一致，最后对于所得数据不仅要思考或检验是否与实际吻合，而且要给出完整的答案。二、典型例题（一）二次函数的应用问题例1图所示是喷灌设备图，水管AB高出地面1.5米，B处是自转的喷水头，喷出例2、因仪器和观察的误差，n次测量分别得到n个数据．规定最佳近似值a与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，求a值(用a1，a2，…，an表示)．2例3、将进货单价为40元的仿古瓷瓶，按50元一个销售时能卖出500个．如果这类瓷瓶每个涨价1元时，销售量就减少10个．为了获取最大利润，售价应定为多少元例4、要用6米长的木料做一个如图所示的窗框．若上、下框的高为1∶2，则长、宽各为多少米时，窗框的光照面积S最大(中间木档所占面积可忽略不计)．例5、快艇和轮船分别从A地、C地同时驶出，沿箭头所示方向航行，如图所示，快艇和轮船的速度各为40千米／时和20千米／时，知AC=150千米，求经过多少小时后快艇与轮船间的距离最近？例6随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员a2人（140a2420，且a为偶数），每人每年可创利b万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．．1人，则留岗职员每人每年．．．．多创利b01.0万元，但公司需付下岗职员每人每年b4.0万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的43，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？（二）其它代数函数例7某企业生产电脑，每台成本500元，以利润为20%标定售价。四年后企业决定把售价降为原来的80%，但仍有50%的利润，这说明企业在四年内的生产成本大幅度的降低，求这四年内平均每年降低成本的百分数。例8某工厂今年1月、2月、3月分别生产某产品1万件、1.2万件、1.3万件。为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系。模拟函数可选用函数y=abx+c(其中a，b，c为常数)或二次函数。已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好。并说明理由。3例9.（水塔供水问题）某工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂生活和生产用水。已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间t（单位：小时，定义早上6时t=0）的函数关系式为Wt100，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时的进水量增加10吨，若某天水塔原有水100吨，在供水同时打开进水管。（1）设进水量选用第n级，写出在t时刻水的存有量；（2）问进水量选择第几级，既能保证该厂用水（水塔中水不空）又不会使水溢出。例10．某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．（Ⅰ）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？．例11．某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：11,96962,3xcxNxPxcxN其中c为小于的正常数．注：次品率P次品数生产量，如0.1P表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损2A元，故厂方希望定出合适的日产量．（Ⅰ）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；（Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？例12医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表.已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．（已知：lg2=0.3010）（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）天数t病毒细胞总数N1234567…1248163264…124584060qp814三、巩固训练1、一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低36%，那么平均每年应降低成本（）A、18%B、20%C、24%D、36%2、某渔场养的鱼第一年鱼的重量增长率为200%，以后每年的重量增长率都是前一年增长率的一半，当饲养4年后，鱼的重量是原来的________倍。3、某商店进一批货物，进价为按原价扣去25%，商店要对这批货物定一个新价，以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利，试写出该商店经营这种货物的件数x与按新价让利总额y间的函数关系。4、某商店购进一批单价为50元的商品，若按每件60元销售，一个月能卖出600件，为获得更大利润，商店准备提高价格，若每件销售价提高1元，销售量将减少30件。问如何提高销售价能获得最大利润？一个月最大利润为多少？5、某种商品，生产x吨需用2x101x51000元，而卖出x吨的价格是每吨p元，其中bxap(a，b是常数)。如果生产的产品全部卖掉，当生产量是150吨时利润最大，这时每吨价格为40元，求a，b值。6、根据市场调查，某商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系：).Nt,40t20(41t),Nt,20t0(11t21)t(f销售量g(t)与时间t满足关系)Nt,40t0(343t31)t(g，求这种商品销售额的最大值。7、有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)=rp+［g(0)-rp］·etvr(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；（2）求证：当g(0)rp时，湖泊的污染程度将越来越严重；（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？