高一数学集合小结与复习

集合小结与复习课【学习导航】知识网络1．以集合为中心的知识网络概述集合是高中数学的基础，也是高考中常考的内容之一．集合思想及集合语言可以渗透到高中数学的各个分支，它可与函数、方程和不等式等许多知识综合起来进行考查．在解题时首先需要我们能读懂集合语言，将集合语言转换为数学语言，再用相关的知识解决问题．2．对集合中元素三大性质的理解（1）确定性集合中的元素，必须是确定的．对于集合A和元素a，要么aA，要么aA，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合．（2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由a，2a组成一个集合，则a的取值不能是0或1．（3）无序性集合中的元素的次序无先后之分．如：由123，，组成一个集合，也可以写成132，，组成一个集合，它们都表示同一个集合．3．学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意a与a的区别．a是集合a的一个元素，而a是含有一个元素a的集合，二者的关系是aa．（2）注意与0的区别．是不含任何元素的集合，而0是含有元素0的集合．（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或R来表示实数集R这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的听课随笔列举法描述法确定性包含关系无序性互异性集合集合与集合的关系集合的概念元素的性质分类集合的表示法集合运算有限集无限集空集子集相等真子集并集交集补集意思．用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：集合()xyyx，中的元素是()xy，，这个集合表示二元方程yx的解集，或者理解为曲线yx上的点组成的点集；集合xyx中的元素是x，这个集合表示函数yx中自变量x的取值范围；集合yyx中的元素是y，这个集合表示函数yx中函数值y的取值范围；集合yx中的元素只有一个（方程yx），它是用列举法表示的单元素集合．4．集合间的关系及集合运算问题点评（1）要注意与间的区别：“”表示元素与集合间的关系，如2N．“”表示集合与集合间的关系，如NZ．（2）理解AB与ABÜ的含义：“AB”包含“AB”，“ABÜ”两种情况，其中必有一种且只有一种情况成立；而“ABÜ”等价于“AB且AB”．（3）尝试用Venn图表示两个集合间的关系，并逐步形成用集合的观点去认识问题、思考问题的思维方式．学会分类写出给定集合的所有子集的解题技巧，并通过对教材“探索与研究”中习题的探究，找出集合中元素的个数与它的所有子集个数的关系规律．（4）交集、并集、全集、补集的定义及其运算是本部分的重点，可以结合Venn图去理解并且应当重视Venn图的直观作用．（5）应重视利用空集的特性．空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，利用空集的这一特性，可使一些题设中隐含有空集条件的问题得以正确解决．（6）补集思想在集合运算中的作用也是不可忽视的．对于一个问题，如果正面去求解比较困难，则可以从这个问题的反面入手，也就是采用补集的思想．自学评价1．对于集合的问题：要确定属于哪一类集合（数集，点集，或某类图形集），然后再确定处理此类问题的方法.2．关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算.3．含参数的集合问题，多根据集合的的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.4.集合问题多与函数、方程有关，要注意各类知识的融会贯通.【精典范例】例1．设U={1，2，3，4，5}，且A∩B={2}，()UCAB={4}，()()UUCACB={1，5}，则下列结论正确的是（）A．3∈A，3∈BB．2∈UCA，3∈BC．3∈UCB，3∈AD．3∈UCA，3∈UCB分析：按题意画出Venn图即可找出选择的分支.【解】画出满题意足Venn图：由图可知：3∈A且3B，即3∈A且3∈UCB，∴选C.点评:4B3A215本题可用排除法来解，若选A，则3∈A∩B，与已知A∩B={2}矛盾，……显然这种方法没有Venn图形象直观，这也突出数形集结合的思想在集合中的运用.追踪训练一1．设U={x|0x10，x∈N+}，若A∩B={3}，()UCBA={1，5，7}，()()UUCACB={9}，求集合A，B.【解】A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}.2．某校有A、B两项课外科技制作小组，50名学生中报名参加A组的人数是全体学生人数的3/5，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名的人数的1/3还多1人，求同时报名参加A、B两组人数及两组都没有报名的人数.【解】同时报名参加A、B组的人数为21人，两组都没有报名的人数为8人.例2：已知全集U=R，集合A={x|x2-x-60}，B={x|x2+2x-80}，C={x|x2-4ax+3a20}，(1)试求a的取值范围，使A∩BC；(2)试求a的取值范围，使UUCACBC分析：U=R，A=（-2，3），B=（-，-4）∪（2，+），故A∩B=（2，3），UCA（-，-2]∪[3，+），UCB[-4，2]，()()UUCACB=[-4，-2]，x2-4ax+3a20即(x-3a)(x-a)0，∴当a0时，C=（3a，a），当a=0时，C=，当a0时，C=（a，3a），(1)要使A∩BC，集合数轴知，0233aaa解得1≤a≤2；(2)类似地，要使UUCACBC必有0342aaa解得423a【解】解答过程只需要将上面的分析整理一下即可.点评:①研究不等式的解集的包含关系或进行集合的运算时，充分利用数轴的直观性，便于分析与转化.②注意分类讨论的思想在解题中的运用，在分类时要满足不重复、不遗漏的原则.追踪训练二1．设A={x|x2-x-20}，B={x||x|=y+1，y∈A}，求：RCB，A∪B，A∩RCB，()RCABRCB∩RCA【解】RCB=（-，-3]∪[3，+）∪{0}；A∪B=（-3，3）；A∩RCB={0}；()RCAB=（-，-3]∪[3，+）.2．已知A={x|-x2+3x+10≥0}，B={x|m≤x≤2m-1}，若BA,求实数m的取值范围.【解】实数m的取值范围：（-，3）.例3：已知集合A={x|x2+4ax-4a+3=0}，B={x|x2+(a-1)x+a2=0}，C={x|x2+2ax-2a=0}，其中至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.分析：听课随笔此题若从正面入手，要对七种可能情况逐一进行讨论，相当繁琐；若考虑其反面，则只有一种情况，即三个集合全是空集.【解】当三个集合全是空集时，所以对应的三个方程都没有实数解，即2122223164(43)0(1)40480aaaaaa解此不等式组，得312a∴所求实数a的取值范围为：a≤32,或a≥-1.点评:采用“正难则反”的解题策略，具体地说，就是将所研究的对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合，那么这个集合的补集便为所求.