陕西省咸阳市2015届高考数学一模试卷

1陕西省咸阳市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x≥2}，A∩∁RB=()A．C．（1，2）D．（1，2]2．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则|z+i|=()A．B．C．2D．3．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是()A．B．C．D．4．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是()A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣3]C．20．如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足kAD•kAE=2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．21．已知函数．（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（II）当m=1，且1≥a＞b≥0时，证明：．选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】222．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q．（Ⅰ）求证：QC•BC=QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ=6，AC=5．求弦AB的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．陕西省咸阳市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x≥2}，A∩∁RB=()A．C．（1，2）D．（1，2]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．3分析：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答：解：由A中的不等式变形得：（）x≤1=（）0，得到x≥0，∴A=B．（﹣∞，﹣3]C．点评：本题考查椭圆的简单几何性质，以及a、b、c的关系，属于基础题．7．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=()A．14B．30C．20D．55考点：循环结构．专题：计算题；算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞4，计算输出S的值即可．解答：解：由程序框图知：第一次运行S=1，i=1+1=2，不满足条件i＞4，循环，第二次运行S=1+4=5，i=2+1=3，不满足条件i＞4，循环，第三次运行S=5+9=14，i=3+1=4，不满足条件i＞4，循环，第四次运行S=14+16=30，i=4+1=5，满足条件i＞4，终止程序，输出S=30，故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．8．在数阵里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中a22=2，则所有数的和为()A．18B．17C．19D．21考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由每列的3个数依次成等差数列及a22=2，可得a12+a22+a32=3a22=6，根据各行成等差数列及等差数列的性质可求得答案．解答：解：∵数阵里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中a22=2，4∴a12+a22+a32=3a22=6，又每行的3个数依次成等差数列，∴a11+a12+a13=3a12，a21+a22+a23=3a22，a31+a32+a33=3a32，∴a11+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33=3a12+3a22+3a32=3×3a22=18，故选：A．点评：本题借助矩阵的形式，实际考查数列的求和、等差数列的运算性质，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．9．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象，A，B两点之间的距离为5，且f（1）=0，则f（﹣1）=()A．B．2C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据A、B两点之间的距离为5，求得T的值，可得ω的值，根据f（1）=0，结合φ的范围求得φ的值从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣1）的值．解答：解：∵A，B两点之间的距离为5，则有：=5，求得T=6，∴ω==，∴f（x）=2sin（x+φ），∵f（1）=2sin（+φ）=0，∴+φ=kπ，k∈Z，∴可解得：φ=kπ﹣，k∈Z，∵，∴φ=，∴f（﹣1）=2sin（﹣+）=2×=，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．10．函数f（x）=ln（x﹣）的图象大致是()A．B．C．D．5考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的性质，结合函数图象特点即可得到结论．解答：解：由x﹣＞0得，﹣1＜x＜0或x＞1，即函数的定义域为{x|﹣1＜x＜0或x＞1}，故A，D错误．当x＞1时，y=x﹣为增函数，∴f（x）=ln（x﹣）也为增函数，∴排除C，故选：B．点评：本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数的性质是解决本题的关键．11．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为()A．B．4πC．D．考点：直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积．专题：球．分析：设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=∴球的表面积S=4πR2=．故选：C．点评：本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理．612．弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在在棋盘上将他们叠成正四面体球堆，试剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有()颗．A．11B．4C．5D．0考点：进行简单的演绎推理．专题：综合题；推理和证明．分析：正四面体的特征和题设构造过程，第k层为k个连续自然数的和，求出前k层的个数，即可得出结论．解答：解：依题设第k层正四面体为1+2+…+k=，则前k层共有（12+22+…+k2）+（1+2+…+k）=≤60∴k最大为6，剩4，故选B．点评：本题考查进行简单的演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知向量，，则在方向上的投影为．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量投影的定义，计算在方向上的投影即可．解答：解：∵向量，，∴在方向上的投影为||cos＜，＞=||×===．故答案为：．点评：本题考查了平面向量投影的定义与应用问题，是基础题目．14．若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为11．7考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y，得平移直线，由图象可知当，经过点C时，直线截距最大，此时z最大．由得，即A（2，3），此时z=x+3y=2+3×3=11，故答案为：11．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15．=+．考点：微积分基本定理．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出原函数，即可求得定积分．解答：解：==+++﹣+=+．故答案为：+．点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道中档题．16．设f（x）=，x=f（x）有唯一解，f（x0）=，f（xn﹣1）=xn，n=1，2，3，…，则x2015=．考点：进行简单的演绎推理．专题：综合题；推理和证明．分析：由已知得f（x）=，从而xn=f（xn﹣1）=，﹣=，由此能求出数列{}是首项为1008，公差等于的等差数列．由此能求出结果．解答：解：∵f（x）=，f（x）=x有唯一解，∴x=，解得x=0或x=﹣2，由题意知﹣2=0，∴a=，f（x）=，8∴xn=f（xn﹣1）=，∴﹣=，又∵x1=f（x0）=，∴=1008，∴数列{}是首项为1008，公差等于的等差数列．∴=1008+•=2015，∴x2015=．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质和等差数列的性质的合理运用．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且≤A≤，求边c的取值范围．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）法一：根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小；法二：根据余弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小．（2）根据正弦定理表示出c，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．解答：解：由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB，化简得sinB=cosB，即tanB=，又0＜B＜π，∴B=．（1）解法1：由c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，又∵A+B=，∴sin（﹣A）=2sinA，化简可得tanA=，而0＜A＜，∴A=，C=．解法2：由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+4a2﹣2a2=3a2，∴b=，∴a：b：c=1：，知A=，C=．9（2）由正弦定理得，即c=，由C=﹣A，得===+1又由≤A≤，知1≤tanA≤，故c∈．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理．18．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑色球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．考点：等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．分析：（1）取出的4个球均为黑色球包括从甲盒内取出的2个球均黑球且从乙盒内取出的2个球为黑球，这两个事件是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．（2）取出的4个球中恰有1个红球表示从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球或从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球两种情况，它们是互斥的．（3）ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ可能的取值为0，1，2，3．结合前两问的解法得到结果，写出分布列和期望．解答：解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．∵事件A，B相互独立，且．∴取出的4个球均为黑球的概率为P（A•B）=P（A）•P（B）=．（II）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，