逆向工程第二章

第二章产品建模数学理论基础2.1曲线数学基础2.1.1.样条的相关概念已知条件：P0，P1，P2……Pn共n+1个点插值方法要求生成的曲线通过每个给定的型值点。曲线插值方法有多项式插值，分段多项式插值，样条函数插值等。逼近方法要求生成的曲线靠近每个型值点，但不一定要求通过每个点。逼近方法有最小二乘法，Bezier方法，B样条方法。用插值或逼近来构造曲线的方法通称曲线拟合方法。附加：曲线和曲面的形状数学描述形状数学描述的基本要求：#从计算机对形状处理的角度来看(1).唯一性：要求所采用的数学方法应满足由已经给定的有限信息决定的形状是唯一的(2).几何不变性：当用有限的信息决定一个曲线时，曲线的形状是确定的，不应随所取坐标系的不同而改变。(3).易于定界：曲线应是有界的，对形状的数学描述应易于定界。(4).统一性：a.要是能同意表示各种形状及处理各种情况，包含各种特殊情况，例如曲线描述要求用一种同意的形式表示平面曲线和控件曲线。b.更高的要求是希望找到一种统一的数学形式，既能表示自由曲线曲面，也能表示初等解析曲线曲线，从而建立统一的数据库，便于形状信息的传递。#从形状表示与设计的角度来看(1).丰富的表达能力：表达两类曲线曲面(2).易于实现光滑链接：曲线段，曲面片之间的连接(3).形状已与预测、控制和修改(4).统一性：a．要能统一表示各种形状及处理各种情况，包含各种特殊情况，例如曲线描述要求用一种统一的形式表示平面曲线和控件曲线b.更高的要求是希望找到一种统一的数学形式，既能表示自由曲线曲面，也能表示初等解析曲线曲面，从而建立统一的数据库，便于形状信息的传递。#从形状表示与设计的角度来看(1)丰富的表达能力：表达两类曲线线面(2)易于实现光滑链接：曲线段，曲线片之间的链接(3)形状易于预测、控制和修改(4)几何意义直观：容易为工程技术人员理解和接受曲线曲面的表示形式：#曲线的表示形式(1)显示形式：y=f(x)Z=g(x)(2)隐式表示：f(x,y,z)=0g(x,y,z)=0(3)参数表示:控件点P的每一个坐标均可被表示为某个参数t的函数X=x(t)Y=y(t)Z=z(t)参数的含义：时间，距离，角度，比例等等规定参数区间【0，1】t’=(t-a)/(b-a)参数矢量表示形式P(t)=(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)),等于笛卡尔分量表示P(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k非参数方程存在如下问题(1)形状与坐标轴相关(2)会出现斜率无穷大的情况(3)对于非平面曲线、曲面难以用常系数的飞参数化函数表示(4)不便于编程和计算机处理参数表示的优点：(1)容易进行物理解释(2)有更大的自由度来控制曲线，曲面的形状(3)易于用矢量和矩阵表示集合分量，简化了计算(4)设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数有明显的几何意义2.1.2曲线的生成原理1.几何法曲线生成原理Bezier曲线救市参数多项式曲线，它由一组控制多边形折现（控制变形）顶点唯一的定义。对于Bezier曲线，子控制多边形的各顶点中，只有第一个和最后一个顶点在曲线上，其他的顶点则用以定义曲线的倒数、阶次和形状。由于曲线的形状趋向于控制多边形的形状，所以改变多边形的顶点就会改变曲线的形状，这就使观察者对输入输出关系有直观的感觉。2.解析法曲线生成原理Bezier曲线的缺点：(1)Bezier曲线或曲面不能做局部修改；(2)Bezier曲线获取面的拼接比较复杂。B样条曲线的有点：(1)与控制边多边形的外形更接近(2)局部修改能力(3)任意形状，包括尖点、直线的曲线(4)易于拼接(5)阶次低，与型值点数目无关，计算简便B样条曲线的缺点：(1)不能精确表示圆2.1.3曲线数学知识3.曲线的连续性(1)参数连续性a.0阶参数连续性记作C0连续性，是指曲线的几何位置连接，即第一个曲线段在ti1处的x,y,z值与第二个曲线段在t(i+1)0处的x,y,z值相等，Pi(ti1)=P(i+1)(t(i+1)0)b.1阶参数连续性记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数(切线)Pi(ti1)=P(i+1)(t(i+1)0)且Pi’(ti1)=P’(i+1)(t(i+1)0)c.2阶参数连续性记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶倒数。类似的，还可定义高阶参数连续性。对于C2连续性，交点处的切向量变化率相等，即切线从一个曲线段平滑的变化到另一个曲线段。(2).几何连续性曲线段星恋的另一个连续条件是值几何连续性。与参数连续性不同的是，他只需曲线段在相交处的参数导数成比例即可。0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连续性的定义相同，满足：Pi(ti1)=P(i+1)(t(i+1)0)1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在相邻短的检点出成比例2阶几何连续性，记作G2联系信息，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶倒数均成比例2.2曲面数学基础2.2.1曲面生成原理1.Coons曲面Hermite样条插值曲线是使用两个端点的坐标值及断点处的倒数来决定一条曲线段。与此类似，Coons曲面是使用曲面片角点和角点处的偏导数来决定曲面。Hermite样条曲线是利用Hermite样条调和函数对边界条件调和而生成，而Coons曲面是使用Hermite样条调和函数对角点信息矩阵进行调和生成曲面。双三次Coons曲面的主要缺点是必须给定矩阵[C]中的16个向量，才能确定曲面的位置和形状，而要给定扭矢量是相当苦难的，因而使用起来不太方便。另外，两个曲面片之间的光滑链接也需要两个角点信息矩阵中相应偏导和混合偏导满足一定的条件。2.Bezier曲面Bezier曲面是Bezier曲线扩展而来，也是以Bernstein函数作为基函数，可以构造有空间网格的顶点位置控制的曲面。Bezier曲面是有Bezier曲线交织而成的曲面。曲面生成是可以通过固定w，变化u得到一簇Bezier曲线。Bezier曲面与Bezier曲线具有相同的型值，不同曲面片之间的拼接需要满足一定的条件。对于C0连接性只要边界上的控制点匹配就可以获得，而C1和C2连续性的条件类似于前面讨论过的Bezier曲线官话连接时的条件要求。2.2.2曲面数学知识非均匀有理B样条曲面就是NURBS曲面。2.3曲面工程基础2.3.2工程曲面的要求1.工程中的光顺第四个特点：变挠点是指挠率为0的点，通常挠率变号点相关。主要是不允许出现以下情况：(1)曲线营出现H个变挠点，二拟合是出现了多于H个变挠点(2)不应该出现变挠点的地方出现了变挠点第五个特点：挠率变化比较均匀，就是要满足下述条件(1)挠率不连续(节点处左右挠率)跃度合足够小(2)挠率Σ|Γ(ti+)-Γ(ti-)|Σ