随机过程_课件---第四章

第四章Poisson过程4.1齐次Poisson过程到达时间间隔与等待时间的分布1、定理4-1强度为的齐次Poisson过程{,0}tNt的到达时间间隔序列,1,2,nXn是独立同分布的随机变量序列，且是具有相同均值1的指数分布。证：事件1Xt发生当且仅当Poisson过程在区间0,t内没有事件发生，即事件1Xt等价于{0}tN，所以有()(0)tttPXtPNe因此，1X具有均值为1的指数分布，再求已知1X的条件下，2X的分布。211(|)(|)((0tPXtXsPXsPPe在s,s+t内没有事件发生（由独立增量性）在s,s+t内没有事件发生)（由平稳增量性）在,t内没有事件发生)上式表明2X与1X相互独立，而且2X也是一个具有均值为1的指数分布的随机变量，重复同样的推导可以证明定理4-1的结论。2、定理4-2等待时间nS服从参数为n，的分布，即分布密度为1()(),(1)!nttften0t证：因为第n个事件在时刻t或之前发生当且仅当到时间t已发生的事件数目至少是n，即事件tnNnSt是等价的，因此()()()!jtntjntPStPNnej上式两边对t求导得nS的分布密度为11()()()!(1)!(),0(1)!jjttjnjnntttfteejjtetn注：定理4-2又给出了定义Poisson过程的另一种方法。从一列均值为1/的独立同分布的指数随机变量序列,1nXn出发，定义第n个事件发生的时刻为nS，则12nnSXXX这样就定义了一个计数过程，且所得计数过程,0tNt就是参数为的Poisson过程。3、定理4-3条件随机变量1(|1)(0,)tXNUt，即在区间0,t内为均匀分布。证：对1,(|1)tstXN的分布函数为11()(,1)(|1)(1)(0,)(1)(0,)()(1)(1)(0)(1)tttttstssststPXsNPXsNPNPstPNPsPtPNPNPNPNseetest在内有一个事件发生，在s，内没有事件发生在内有一个事件发生在s，内没有事件发生这说明1(|1)tXN在0,t上服从均匀分布。4、顺序统计量设1,,nYY是n个随机变量，如果()kY是1,,nYY中第k个最小值，1,,kn，则称(1)(),,nYY是对应与1,,nYY的顺序统计量。5、定理4-4已知在tNn的条件下，n个事件来到的时刻1,,nSS的联合密度与n个独立的0,t上均匀分布随机变量的顺序统计量的联合密度相同，即条件随机向量1,,|ntSSNn具有联合分布1!(,,),nnnfttt10nttt证：设0110nnttttt，则把0,t分成n+1个小部分，于是有111221,,,()()()111(,1|)(1,0,1;0)()()()/!()()/!!(iiiiiininniiiiiiittttttttttnttttttttiitnnttntiitnniiPttStinNnPNNinNPNnteeeeetnteeeetnnt)/nt所以对给定1,(,,)tnNnSS的n维条件密度函数是1,,1max01(,,|)lim(,1|)/!niSSntniiiititinfttNnPttStinNntnt得证。6、定理4-51()Nt和2()Nt是相互独立的随机变量，分别服从均值为tp和(1)tp的Poisson分布，其中01()tpPsdst证：考虑0,t中发生的任一事件，如果它在s时刻发生，则它是1型的概率为()Ps。由定理4-4，时刻s服从0,t上的均匀分布，所以01()tpPPsdst一个事件发生且是1型而且与其他事件归为什么类型相互独立。因此12((),()|())PNtnNtmNtnm正好是nm次Bernoulli试验中，1型事件出现n次，2型事件出现m次的概率。故有12((),()|())(1)nmnmPNtnNtmNtnmppn所以有1212012(1)((),())((),()|())(())((),()|())(())()(1)()!()[(1)]!!knmnmtnmtptpPNtnNtmPNtnNtmNtkPNtkPNtnNtmNtnmPNtnmnmtppennmtptpeenm由此证明了定理4-5的结论成立。7、例题例4-1设乘客按参数的Poisson过程来到火车站，若火车在0t时刻启程，计算在时间00,t内到达的乘客的等待时间总和的期望。解：设按照Poisson过程到达的第一位乘客的到达时间为1S，因此其等待时间为01()tS，而第i位乘客的等待时间为0()itS，在时间00,t内共来了0tN位乘客，所以这些乘客总的等待时间为001tNiitS要求的就是上式的数学期望。为此先求条件期望0000001101[|][|][|]tNnititiinitiEtSNnEtSNnntESNn令1,,nUU为互相独立的00,t上的均匀分布随机变量，由定理4-4有00()1101(|)()()2tNnitiiiniiESNnEUntEU因此000001[|]22nitintntEtSNnnt从而0000000011200[][[|]]()21()22ttNNtiitiitNtEtSEEtSNEtENt容易看出，旅客平均总等待时间和20t成正比，比例因子的大小决定于Poisson过程的强度。例4-2（无穷个服务员Poisson排队服务系统）设顾客到达服务台的过程式强度为的Poisson过程，每个顾客到达后的服务时间Y是独立同分布的随机变量，其分布函数为()Gt。服务员的人数是无穷多，即表示顾客到达服务台后立即接受服务而无需等待。为了研究这一服务系统的运转效率，需要管理者知道时间T已经服务完的顾客数与未服务完的顾客数的联合分布。设1()Nt表示到时刻t已经服务完的顾客数，2()Nt表示到时刻t未服务完的顾客数。假设顾客与时刻s到达，st，那么他到t时刻已经服务完毕就意味着他的服务时间Yts，故其相应的概率为()Gts。由上面的定义有()(),PsGtsst根据定理4-5，可得到1()Nt和2()Nt的联合分布及独立性,而且1()Nt（已经服务完毕的顾客数）的分布是均值为100(())()()ttENttpGtsdsGydy的Poisson分布。2()Nt（在时刻t未服务完毕的顾客数）的分布是均值为20(())(1)(1())tENttpGydy的Poisson分布。非齐次Poisson过程和复合Poisson过程1、非齐次Poisson过程定义4-1计数过程0,tNt称为具有强度)0)((tt的非平稳或非齐次Poisson过程，如果（1）00N(即仍从时刻0开始计数)；（2）0,tNt具有独立增量；（3）)()(hoNNPtht；（4）)()()1(hohtNNPtht。其中，)(ho表示当0h时，对h的高阶无穷小。2、定理4-6若0,tNt是强度为)(t的非齐次Poisson过程，令tdsstm0)()(则)]()([!)]()([)(tmstmktstektmstmkNNP其中，,2,1k。即tstNN具有均值为)()(tmstm的Poisson分布。3、复合Poisson过程设1,nn是独立同分布的随机变量序列，0,tNt是强度为的Poisson过程，且与1,nn相互独立。令tNnntY1则称随机过程0,tYt为复合Poisson过程。4、定理4-7设tNnntY1是一个复合Poisson过程，则对于任意0t，（1）tY是一个独立增量过程；（2）tY的特征函数为1)(exputtY其中，)1),()((ieEuku是随机变量n的特征函数；若)(2E，则有)()(),()(2tEYVartEYEtt。证（1）令tttm100，则NttnnY001，NNtttktkkknnYY111，mk,,1由于0,tNt与1,nn相互独立，以及Poisson过程0,tNt的独立增量性和1,nn是独立同分布的随机变量序列，容易证明Yt是具有独立增量的随机过程.（2）由特征函数的定义，1exp!!!exp!|exp|0001010utnniuEniuEnniuEnPnYEYEuYnntnnntnnntnkknnttnkknttiuiuteuteeteteNNNeettt　　　＝　　　＝　　　＝　　　＝　　　＝　　　＝＝（3）首先考虑在nNt条件下，Yt的条件期望.nEEnENnEnEnkknktkktkttNNNYt　　　　　　＝　　　　　　＝　　　　　　＝＝111|||于是EENNYttt＝|（4-2）所以有tEEEEEENNYYtttt＝＝|在这里不加证明地给出一个结论（读者可以自行证明），即NYNYYtttttEVarVarEVar||（4-3）而且nVarVarnNVarnVarnkktkkttNNYt11||　　　　　　　＝于是VarVarNNYttt|所以由式（4-2）和（4-3）及tVarNt，有２　　　＝　　　＝　　　＝＝EtVartttVarEVarVarEVarEENNYttt22这样就完成了定理4-7的证明.5、例题例4-5（保险公司保险金储备问题）设某保险公司人寿保险者在时刻,,21tt时死亡，其中21tt是随机变量（因为投保者何时死亡是一随机现象），在nt时刻死亡者的家属持保险单可领取保险金n。设,2,1,nn是一独立同分布的随机变量序列，令tN表示在t,0内死亡的人数，0,tNt是强度为的Poisson过程，则保险公司在t,0时间内应准备支付的保险金总金额为1,1tYtNnnt显然0,tYt为一复合Poisson过程。若n服从指数分布0,00,)(xxexfx则由前面的定理4-7知，在t,0时间内保险公司平均支付的赔偿费为ttEYEt)()(又因为22/2)(E，所以方差（或支付赔偿费的偏差）为222)()(ttEYVart因为指数分布随机变量的特征函数为iuu)(所以由定理4-7可得tY的特征函数为)}1(exp{]}1)([exp{)()(iututeEuttiuYY例4-6(商店的营