逆矩阵的求法及逆矩阵的应用

逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用ThemethodsforidentifyinginversematrixandapplicationofinversematrixAbstract:Inmodernmathematics，matrixisaneffectivetoolwithextensiveapplication，andinversematrixisasignificantconceptinmatrixtheory.Thedisdussaboutthewaytoevaluatinginversematrixanditsapplicationisofanimportantmeaningwithmaturedevelopmentatpresent.Thispaperwillsummarizethedefinitionandpropertiesofinversematrixanddisscussthemethodsevaluatinginversematrix.Wewillalsotalkabouttheapplicationofinversematrix,especiallyitsapplicationinencodinganddecoding.Keywords:MatrixInversematrixThewaytoevaluatinginversematrixApplicationofinversematrix1一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。在矩阵理论中，逆矩阵又一个非常重要的概念。本文将对矩阵可逆性的由来及逆矩阵的定义、性质、判定方法进行探讨，并进一步了解逆矩阵在现代数学中的应用，以激发学生的学习兴趣，让学生进一步了解逆矩阵的应用，从而提高教育教学质量。二：矩阵的逆的定义对于nn矩阵A，如果存在一个nn矩阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），那么说矩阵A可逆，并把矩阵B称为A的逆矩阵。记A的逆矩阵为A1.三：可逆矩阵的性质1、如果矩阵A、B均可逆,那么矩阵AB可逆，其逆矩阵为B1A1.（推广：如果矩阵A1，A2,……An均可逆,那么矩阵A1A2…An可逆，其逆阵为An1…A21A11）2、如果A可逆，那么1A可逆，且1A1=A；3、如果A可逆，那么TA可逆，且11TTAA.4、A()()'11A.5、如果A可逆，数0，那么A可逆，且111AA；6、如果矩阵A的逆存在，那么该逆矩阵唯一。以上结论见文献[1]四：矩阵可逆的几种判别方法设矩阵A为n阶方阵，那么A可逆的充要条件有：1、存在n阶方阵B，使得AB=I；2、对PAQ=000I，其中P为sn矩阵，Q为n×m矩阵，r（A）=n；23、0A；4、A是非退化矩阵.5、A的行向量（列向量）组线性无关；6、A可由一系列初等矩阵的乘积表示；7、A可经过一系列初等行变换（列变换）化成单位矩阵I；8、齐次线性方程组AX=0只有零解.以上结论见文献[1][8]五：逆矩阵的几种求法（一）定义法定义：矩阵A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=E,那么称A可逆，称B为A的逆矩阵，记为1A.求矩阵012114210A的逆矩阵.解：因为A≠0,所以1A存在.设1112131212223313233xxxAxxxxxx,由定义知1AA=E,所以012114210111213212223313233xxxxxxxxx=100010001.由矩阵乘法得213122322333112131122232132333112112221323222444222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx=100010001.由矩阵相等可解得31121312432xxx;122232121xxx;1323331112xxx.故121142131122A（二）伴随矩阵法定理：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化.且11211122221121nnnnnnAAAAAAAAAAA，其中，Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，即有A-1=1|A|A*.该定理见文献[1]注⑴此方法适用于计算阶数较低矩阵（一般不超过3阶）的逆，或用于元素的代数余子式易于计算的矩阵求逆。注意A*=（Aji）n×n的元素位置以及各元素的符号。特别地，对于2阶方阵11122122aaAaa，其伴随矩阵为22122111*aaAaa.⑵对于分块矩阵ABCD，上述求伴随矩阵的规律不适用.例2：已知1312A，求A-1.解:∵A=-1≠0∴A可逆.由已知得411122122A=2,A=1,A=3,A=1A-1=1|A|A*=23231111（三）行(列)初等变化法设n阶矩阵A，作n×2n矩阵，对该矩阵作初等行变换，如果把子块A变为nI，那么子块nI变为1A，即由[A,E]作初等行变换得[E,A-1]，所得的1A即为A的逆矩阵.注⑴对于阶数较高的矩阵（n≥3），用初等行变换法求逆矩阵，一般比用伴随矩阵法简便.用上述方法求逆矩阵，只允许作初等行变换.⑵也可以利用1EAEA初等列变换求得A的逆矩阵.⑶若矩阵A可逆，可利用11EABEA,CABCA初等行变换初等列变换得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变换，即求出了A-1B或CA-1.例3：用初等行变换求矩阵223A110121的逆矩阵.解：223100110010110010AE110010223100011011121001121001043120101021100143011011010153001164001164所以1143153164A5（四）用Cramer法则求矩阵的逆若线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的系数行列式||0ijnDa，则此方程组有唯一的一组解1212,,,nnDDDxxxDDD.这里iD是将D中的第i列1,,iniaa换成1,,nbb得到的行列式.定理1若以1=(1,0,0,……,0),2=(0,1,0,⋯,0),⋯,3=(0,0,……,1)表示Fn(Fn表示数域F上的n维行向量空间)上的一组标准基,那么Fn中任一向量=(a1,a2,……,an)都能且只能表示为:=a11+a22+……+ann的形式,这里ai∈F(i=1,2,……,n).定理2若称矩阵A与矩阵B相乘所得的矩阵为AB，以A的第i行右乘以B，其乘积即为矩阵AB的第i行.求矩阵的逆可用以下方法:令n阶可逆矩阵A=(aij),A的行向量分别为1,2,……,n,其中1=(a11,a12,……,a1n),(i=1,2,……,n),由定理1得:1=Σaijj(i=1,2,⋯,n)，解方程组（1,2,⋯,n为未知量）,由于系数行列式D=|A|≠0(因为A可逆),所以,由Cramer法则可得唯一解:jjDD=bj11+bj22+⋯+bjnn(j=1,2,⋯,n).其中Dj是用方程组的常数项α1,α2,⋯,αn替换行列式D的第j列的元素得到的n阶行列式.由定理2可得:BA=I(I为单位矩阵),从而有A-1=B.其中B=(bij).以上定理见文献[1]、[7]、[8]下面举例说明这种方法.6例4：求矩阵111022110A的逆矩阵.解：矩阵A的行向量为123,,，由标准基123,,表示为：112322331222解以123,,为未知量的方程组得：112321233123112363111363111333所以1112363111363111333A（五）解方程组求逆矩阵由可逆矩阵的上三角(下三角)矩阵的逆仍为上三角(下三角)矩阵,且对于上(下)三角矩阵的逆矩阵，其主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A-1A=E两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.例5：求1000120021301214A的逆矩阵.解：设721131324142431000100210314XAXXXXX,先求A-1中主对角线下的次对角线上的元素213243X,X,X,3142X,X，41X.设E为4阶单位矩阵,比较21313241424310001100000212001213003121414XEXXXXX的两端对应元素,得：41424310X0X3X10;4解得，431X;12313221X1X100;3解得，431X;241424320X2X1X0;4解得，425X;441424311X1X2X0;4解得，431X8及所求的逆矩阵为110001100221110263151184124A（六）求三角矩阵的逆的一种方法8定理：若如果n阶矩阵11121112221200000nnnnnntttttttTt可逆，则它的逆矩阵为11111111121111111111222221222100000nnnnnntttttttTt其中11111111,1,2,,1,1,2,2;3,4,,iiiiiiijjjijkjikkkikjttinttttinjn例6：求上三角阵1312011300250002A的逆矩阵.解：由定理知112221212333231111333132312221344434112444243423331111444142412223413333122521412tttttttttttttttttttt911132211012415002410002A（七）用分块矩阵求逆矩阵设矩阵A为m阶