随机过程试卷(更新)

随机过程试卷一、简答1.随机过程的正交、互不相关和互相独立及其相互关系。答：教材P49①如果对任意的12,,nttt和12,,mttt有12121212(,,;,,;,,;,,)XYnnmmfxxxtttyyyttt12121212(,,;,,)(,,;,,)XnnYmmfxxxtttfyyyttt则称()Xt和()Yt之间是相互独立的。②两个随机过程()Xt和()Yt，如果对任意的1t和2t都有互协方差函数为0，即12(,)0XYCtt则称()Xt和()Yt之间互不相关。两个互相独立的随机过程必不相关，反之不一定。（高斯随机过程的互不相关与互相独立等价）③两个随机过程()Xt和()Yt，如果对任意的12,ttT，其互相关函数等于零，即12(,)0XYRtt则称()Xt和()Yt之间正交。而且正交不一定互不相关。（均值为零的两随机过程正交与互不相关等价）2.随机过程的各态历经性及实际意义。答：教材P65~69平稳过程的各态历经性，用数学语言来说，即关于（充分长）时间的平均值，近似地等于观察总体的集合平均值。如对均方连续的实平稳过程(),(,),[()]XXttmEXt是()Xt的均值，是平稳过程中所有可能出现的曲线（样本函数）的集合平均值。而对()Xt中任一现实曲线()xt，1()d2TTTmxttT是()xt在[,]TT对时间t的平均值，称为时间平均值。显然()Xt的每一曲线都在Xm的上下波动，则可以想象，当T充分长时该现实曲线()xt可以很好地代表实平稳过程(),(,)Xtt的整个性质，如TXmm。对于这样的平稳过程，称具有各态历经性，但只在一定条件下的平稳过程，才具有各态历经性。要讨论平稳过程的数字特征，就应该知道一族样本函数。而样本函数往往需要经过大量的观察实验，然后用数理统计的点估计理论进行估计才能取得，其要求是很高的。讨论平稳过程的历经性，就是讨论能否在较宽松的条件下，用一个样本函数去近似计算平稳过程的均值、协方差函数等数字特征。3.高斯随机过程的互不相关与互相独立等价。答：教材P159~160必要性若12,,nXXX是相互独立的正态随机变量，则必有121212(,,,)()()(),nXnXXXnfxxxfxfxfx121212(,,,)()()()nXnXXXnvvvvvv2211exp2niiiiijvv22111exp2nniiiiiijvv其中，2[],[],1,2,,.iiiiEXDXin21222000000000nC是协方差矩阵，显然，ik时，0ikC，故iX与kX是不相关的。充分性若12,,,nXXX是两两互不相关的正态随机变量，则[()()]0,kikkiiCEXXki121(,,,)exp2TTXnvvvjvvCv其中1212(,,,),(,,,)TTnnvvvv，C为协方差矩阵，因而有212111(,,,)exp2nnXniiiiiiivvvjvCv2111exp()2inniiiiiXiiijvCvv其中()iXiv是正态随机变量iX的特征函数。依特征函数性质知12,,,nXXX相互独立。4.泊松过程是非平稳随机过程。答：教材P56，P184设(),XttT是一个随机过程，2[()]EXt，且[()]XEXtmconst和1212(,)[()()](),RttEXtXtRtt则称(),XttT为广义随机平稳。泊松计数过程均值00[(,)]ENtttt，均方值2200[(,)]()ENttttt，相关函数2121212(,)min(,)NRtttttt，不符合上述定义，因此泊松过程是非平稳随机过程5.白噪声过程是零阶马尔可夫过程。什么叫无记忆过程？白噪声过程是无记忆过程吗？答：教材P53~54随机过程按记忆特性分类：（1）纯粹随机过程（无记忆），指在一给定的1t，用()Xt定义的随机变量，与所有其他的2t，用()Xt定义的随机变量是相互独立的。白噪声是其一个重要的例子。（2）马尔可夫过程：一阶、二阶、高阶马尔可夫过程；纯粹随机过程又称零阶马尔可夫过程。（3）独立增量过程，独立增量过程(),0Xtt是一个马尔可夫过程。二、设随机过程()cossinXtUtVt，()sincosYtUtVt，()sincosZtUtVt。其中0，U和V是两个相互独立的随机变量，且[][]0EUEV，222[][]EUEV。（1）证明：()Xt、()Yt和()Zt各自是广义平稳的随机过程。（2）证明：()Xt和()Yt不是广义联合平稳的。（3）证明：()Xt与()Zt是两个平稳相关的随机过程。（4）()Xt的均值，自相关函数是各态历经的么？（1）证明：()Xt的均值[()][]cos[]sin0EXtEUtEVt均方值222222[()][]cos[]sin2[]sincosEXtEUtEVtEUVtt自相关函数21212(,)()cos,XXRttRtt所以()Xt是广义平稳的随机过程，同理()Yt和()Zt是广义平稳的随机过程。（2）证明：121122(,)(cossin)(sincos)XYRttEUtVtUtVt22121212[]cossin[]sincos[]cos()EUttEVttEUVtt212sin()tt2212sin(2),ttt因此12(,)XYRtt不仅与有关，得出()Xt和()Yt不是广义联合平稳的。（3）证明：1212(,)[()()]XZRttEXtZt1122[(cossin)(sincos)]EUtVtUtVt212sin,tt类似的，有212(,)sinZXRtt所以()Xt与()Zt是两个平稳相关的随机过程。（4）解：由于2()cosXR及0Xm，故有2221lim1cosd22TTTTT220lim1cosd02TTTT因此()Xt的均值是各态历经的。（用定理证）设()cossinxtutvt是()Xt的一个代表性样本函数，u和v分别是随机变量U和V的样本值。（用定义证，自相关函数的各态历经性定理要计算四阶矩，通常不用）()()()XTRXtXt1limcos()sin()cossind2TTTutvtutvttT221limcos()cossin()sinsin(2)d2TTTuttvttuvttT221limcos(2)coscos(2)cossin(2)d222TTTuvttuvttT22221sin(2)sin(2)cos(2)cos(2)coslim2242TuvuvTTuvTTT22cos2uv由此式看出，自相关函数的时间平均依赖于被选择的样本函数。对于不同的样本函数，u和v的值不同，自相关函数时间平均值也不同，因此()Xt没有自相关函数的各态历经性。三、设平稳随机过程()Xt的自相关函数()XRe。令0()()cos()YtXtt，其中0，为[0,2]均匀分布的随机变量，且()Xt与相互独立。求()Yt的自相关函数和功率谱密度。解：120102(,)[cos()cos()]ZRttEtt0102010211[cos()cos(2)]22Etttt01201201211cos()cos()[cos2]sin()[sin2]22ttttEttE01201211cos()cos(),22ZttRtt1212(,)[()()]YRttEYtYt101202[()cos()()cos()]EXttXtt120102[()()][cos()cos()]EXtXtEtt12()()(),XZYRRRtt0121cos,2ett22()1XS，00()[()()]2ZS由Fourier变换的性质得22001111()()()221()1()YXZSSS四、已知2()XRe，如果d()()()dXtYtXtt，求()YR。（教材P124题3.4）解：()[()()]YREYtYt[()()][()()]EXtXtXtXt[()()()()()()()()]EXtXtXtXtXtXtXtXt()()()()XXXXRRRR()()XXRR22(34)e五、()Xt是一个平稳的高斯随机过程，其功率谱密度为1,()0,XBS其他，其中B为常数。（参考教材P179题5.5）1.求()Xt的一维概率密度。2.求()Xt的二维联合概率密度，并问当12,tt是什么关系时12(),()XtXt相互独立。解：1.120111()dcosdsin,2BBjXBReBtt21()lim()limsin0XtRB所以0x2201()[()](0)limsinXBtEXtRB所以()Xt的一维概率密度为221()exp22XXXxfx其中2XB2.12(),()0Ttt121212()()(,)(),XXEXtXtRttRtt2112122212sin()()()1,sin()()()BBEXtEXtXtCttBEXtXtEXtB所以()Xt的二维概率密度为11121212211(,;)exp,22XxfxxxxCxC12(),()XtXt相互独立等价于12(),()XtXt互不相关。因此12210CC，即sin0B。所以,(1,2,)Bkk，即12,tt应满足12,(1,2,)kttkB的条件时12(),()XtXt相互独立。（相似题：教材P179题5.9）高斯随机过程，它的均值和相关函数完全刻画了该过程的统计特性。六、如图，设()Xt为高斯白噪声随机过程，其自相关函数为0()()2XNR，T为延迟。（教材P126题3.19图）1.求(),()XtZt的互相关函数()XZR。2.求(),()ZtXt的互相关函数()ZXR。解：1.系统冲激响应为()()()()()()htttTutututT00()()()()()()()()22XZXNNRRhuuTuuT2.00()()()()()()()()22ZXXNNRRhuuTuuT七、如图所示系统中，自相关函数为0()2N的白噪声分成两路经过频率响应特性分别为1()Hj和2()Hj的对称窄带系统。（教材P152题4.22）1.求输出1()Yt和2()Yt的互谱密度12()YY