随机过程试卷

浙江大学随机过程理论试题学号姓名成绩一.填空(40分)1.设(,,)PF是随机试验E的概率空间，()是定义在它上面的一个随机变量，(,,)RPB是()的导出概率空间，则其中P是定义在上的概率测度；P是定义在上的概率测度。2.若已知,()HXHtX且0··()ttlimXtX，则在内积空间中等价地有；在距离空间中等价地有.3.设(),1,2,,()iiNt是一独立同分布的随机变量序列，2()~(,)iN，()Nt是服从参数为的Poisson过程，且()Nt与()i相互独立，记随机和()1()()NtiiXt，则()Xt的矩母函数,()Xgt；{()}EXt；{()}DXt.4.记(),0wtt是Wiener过程，则22()twt的Ito微分22(())dtwt.5.设,0,1,2,nXn是不可约、有限状态空间的Markov链，且其一步状态转移矩阵的对角元素均大于零，则该Markov链的状态特性是.6.设某汽车站乘客以平均每分钟4人到达的速率来到车站候车，车站以12分钟发放一辆班车运送顾客，为了提高服务质量，将乘客的人均等车时间缩短2分钟，此时车站应该至少分钟发送一班车.二.(15分)一袋中有相同5只小球，其中3只红球，2只白球，红球上记数1，白球上记数2，随机试验E：随机地从袋中不放回地连续摸出2只小球，观察所摸到的小球情况。1.给出随机试验E的概率空间(,,)PF.2.记()为所摸出的小球上所记数字之和，试给出()的概率分布律和分布函数。三.(10分)设平稳过程(),(,)Xtt，均值为0Xm，相关函数为||(),XRe()ts1.问()Xt的均值是否具有各态历经性？为什么？2.试问()Xt在均方意义下是否连续，可导和可积？四.(10分)设随机变量(),()的联合密度函数为2,(,)0,,0xeyfxyx其他试求|{}Ey，|{}E和{}E.五.(15分)设Markov链,n0,1,2,,nX状态空间{1,2,3,4}，一步转移概率01001200331200330010P1.试分析nX的状态特征(互通性，周期，常返性)；2.nX是否存在极限概率和平稳分布，若不存在请给出理由；若存在请计算其结果。六.(10分)设有3台设备，每台的正常运转时间都服从参数为的指数分布，检修所需时间均服从参数为的指数分布且与运转情形独立，各台设备也独立。假定采用如下的检修方案：有2台不能正常运转就全部停工检修。记时刻t不能正常运转的设备数为(),0Xtt.1.试验证()Xt为连续时间Markov过程，并给出转移速率矩阵。2.求出()Xt的平稳分布。