集合与函数测试题(附答案)

阶段性测试题一(集合与函数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2011·安徽百校联考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M且a≠b}，则集合M与集合N的关系是()A．M＝NB．MNC．NMD．M∩N＝∅[答案]C[解析]∵a、b∈M且a≠b，∴a＝－1时，b＝0或1，x＝0或－1；a＝0时，无论b取何值，都有x＝0；a＝1时，b＝－1或0，x＝－1或0.综上知N＝{0，－1}，∴NM.[点评]给出集合，考查集合运算的理解运用是考查集合的主要命题方式．2．(文)(2011·广东珠海一中调研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－30}，B＝{x|2x4}，则(∁UA)∩B＝()A．{x|－1≤x≤4}B．{x|2x≤3}C．{x|2≤x3}D．{x|－1x4}[答案]C[解析]A＝{x|x－1或x3}，∁UA＝{x|－1≤x≤3}，(∁UA)∩B＝{x|2x≤3}．(理)(2011·山东聊城一中期末)已知全集U＝R，集合A＝{x|lgx≤0}，B＝{x|2x≤1}，则∁U(A∪B)＝()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)[答案]B[解析]A＝{x|0x≤1}，B＝{x|x≤0}，则A∪B＝{x|x≤1}，∴∁U(A∪B)＝{x|x1}．3．(文)(2011·福建龙岩质检)函数f(x)＝log2x－1x的一个零点落在下列哪个区间()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[答案]B[解析]∵f(1)·f(2)＝－1×12＝－120，∴选B.(理)(2011·宁夏银川一中检测)已知a是函数f(x)＝2x－log12x的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足()A．f(x0)＝0B．f(x0)0C．f(x0)0D．f(x0)的符号不确定[答案]B[解析]∵函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，且这个函数有零点，∴这个零点是唯一的，根据函数的单调递增性知，在(0，a)上这个函数的函数值小于零，即f(x0)0.[点评]在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零．4．(文)(2011·福建长泰一中月考)函数f(x)＝－x＋3a，x0ax，x≥0(a0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．[13，1)C．(0，13]D．(0，23][答案]B[解析]f(x)在R上单调递减，∴0a1，3a≥1.∴13≤a1.(理)(2011·湖南师大附中月考)若函数f(x)＝|x|(x－b)在[0,2]上是减函数，则实数b的取值范围是()A．(－∞，4]B．(－∞，2]C．[2，＋∞)D．[4，＋∞)[答案]D[解析]排除法，b＝0时，f(x)＝|x|·x＝x2x≥0－x2x0，在[0,2]上不是减函数，排除A、B；b＝2时，f(x)＝|x|(x－2)＝x2－2xx≥0－x2＋2xx0在[0,2]上不是减函数，排除C，故选D.5．(文)(2011·拜泉一中月考)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)[答案]A[解析]3x0⇒3x＋11⇒log2(3x＋1)log21＝0，选A.(理)函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)[答案]C[解析]令u＝16－4x，则y＝u，u≥0，因为4x0，－4x0，所以0≤16－4x16∴y＝u∈[0,4)，故选C.6．(2011·辽宁丹东四校联考)若关于x的方程log12x＝m1－m在区间(0,1)上有解，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案]A[分析]要使方程有解，只要m1－m在函数y＝log12x(0x1)的值域内，即m1－m0.[解析]∵x∈(0,1)，∴log12x0，∴m1－m0，∴0m1.7．(文)(2011·江苏南通中学月考)设a＝log132，b＝log1213，c＝120.3，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c[答案]B[解析]∵log132log131＝0，∴a0；∵log1213log1212＝1，∴b1；∵120.31，∴0c1，故选B.(理)(2011·北京学普教育中心联考版)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，若设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010的值为()A．－log20112010－2B．－1C．log20112010－1D．1[答案]B[解析]f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1,1)处的切线方程为：y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得，x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1，∴x1×x2×…×x2010＝12×23×34×…×20102011＝12011，则log2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010＝log2011(x1×x2×…×x2010)＝log201112011＝－1，故选B.8．(2011·山东聊城一中期末)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有()A．f13f32f23B．f23f32f13C．f23f13f32D．f32f23f13[答案]B[解析]∵f(x)的图象关于直线x＝1对称，x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，故当x1时，f(x)为减函数，且f32＝f1＋12＝f1－12＝f12，∵131223，∴f13f12f23，即f23f32f13，故选B.9．(2011·陕西宝鸡质检)定义某种运算S＝a⊗b，运算原理如框图所示，则式子2⊗lne＋2⊗13－1的值为()A．13B．11C．8D．4[答案]A[解析]由框图知S＝a⊗b＝ab＋1，a≥b，ba＋1，ab，∵lne＝1，13－1＝3，∴2⊗lne＝2⊗1＝2×(1＋1)＝4，2⊗13－1＝2⊗3＝3×(2＋1)＝9，∴2⊗lne＋2⊗13－1＝13，故选A.10．(2011·烟台调研)设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式fx＋f－xx0的解集为()A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(0,2)[答案]B[解析]∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，∴0x2时，f(x)0，x2时，f(x)0，∵f(x)为偶函数，∴不等式fx＋f－xx0化为fxx0，∴x0fx0或x0fx0，∴0x2或x－2，故选B.11．(文)(2010·山东青岛)已知函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图，其中a、b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是()[答案]B[解析]由图象可知，f(x)为减函数且0f(0)1，故0a1,0b1，∴g(x)为减函数且g(0)1，故选B.(理)(2010·湖南湘潭市)若指数函数f(x)＝ax(a0，a≠1)图象上的任意一点P(x0，y0)处的导数都大于零，则函数y＝xax|x|的图象的大致形状是()[答案]C[解析]由题可知，f(x)＝ax是单调递增函数，所以a1，又因为y＝xax|x|＝ax，x0－ax，x0，画图知其图象的大致形状为C.[点评]考查指对函数的图象与性质是常见命题方式，解答此类问题关键是准确把握指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的基本性质与图象特征，再结合平移等其他知识综合考察后作出判断，请再练习下题：(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)若函数f(x)＝kax－a－x(a0且a≠1)在(－∞，＋∞)上是单调递增的奇函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是()[答案]C[分析]先根据函数f(x)＝kax－a－x(a0且a≠1)是奇函数确定k值，再根据其单调性确定a值的范围，然后按照函数图象的变换方法进行判断．[解析]∵函数f(x)＝kax－a－x(a0且a≠1)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对于任意x∈R恒成立，即ka－x－ax＝a－x－kax对于任意x∈R恒成立，即(k－1)(ax＋a－x)＝0对于任意x∈R恒成立，故只能是k＝1，此时函数f(x)＝ax－a－x，由于这个函数单调递增，故只能是a1.函数g(x)＝loga(x＋1)的图象是把函数y＝logax的图象沿x轴左移一个单位得到的，故正确选项为C.[点评]本题可以利用奇函数在x＝0处有定义时，f(0)＝0直接求出k值．12．(2010·宁夏银川一中)已知函数f(x)＝x2－4x＋3，集合M＝{(x，y)|f(x)＋f(y)≤0}，集合N＝{(x，y)|f(x)－f(y)≥0}，则集合M∩N的面积是()A.π4B.π2C．πD．2π[答案]C[解析]由题意得f(x)＋f(y)＝x2－4x＋3＋y2－4y＋3＝(x－2)2＋(y－2)2－2，故集合M＝{(x，y)|(x－2)2＋(y－2)2≤2}，同理可得集合N＝{(x，y)|(x－2)2－(y－2)2≥0}，则集合M∩N所描述的图形为如图阴影部分．可求得S＝2×12r2α＝2×12×(2)2×π2＝π.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．已知函数f(x)对任意实数x都有f(x＋3)＝－f(x)，又f(4)＝－2，则f(2011)＝________.[答案]2[解析]∵f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，∵2011＝6×335＋1，∴f(2011)＝f(1)＝－f(4)＝2.14．(文)(2011·黑龙江哈六中期末)已知f(x)＝logax，(a0且a≠1)满足f(9)＝2，则f(3a)＝________.[答案]3[解析]∵f(9)＝2，∴loga9＝2，∴a＝3，∴f(3a)＝log33a＝a＝3.(理)(2011·山东省实验中学诊断)函数y＝ax－1(a0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx＋n的图象上，其中m，n0，则1m＋1n的最小值为________．[答案]4[解析]当x＝1时，y＝a1－1＝1，∴A(1,1)，由题意知，m＋n＝1，m0，n0，∴1m＋1n＝1m＋1n(m＋n)＝2＋nm＋mn≥2＋2nm·mn＝4等号在m＝n＝12时成立，∴1m＋1n的最小值为4.15．(2011·山东潍坊诸城)定义：F(x，y)＝yx(x0，y0)，已知数列{an}满足：an＝Fn，2F2，n(n∈N*)，若对任意正整数n，都有an≥ak(k∈N*，k为常数)成立，则ak的值为________．[答案]89[解析]由F(x，y)的定义知，an＝2nn2(n∈N*)．∵对任意正整数n，都有an≥ak成立，∴ak为数列{an}中的最小项，由指数函数与幂函数的增大速度及a1＝2，a2＝1，a3＝89，