集合与简易逻辑知识复习练习及典型高考题

【集合的有关概念】1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。3.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样4.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作aA（或aA）（举例）5.常用数集及其记法自然数集，记作N；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：{x|x-32}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。【集合间的基本关系】（一）集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。记作：)(ABBA或读作：A包含于（iscontainedin）B，或B包含（contains）A当集合A不包含于集合B时，记作AB用Venn图表示两个集合间的“包含”关系)(ABBA或（二）集合与集合之间的“相等”关系；ABBA且，则BA中的元素是一样的，因此BA即ABBABA结论：任何一个集合是它本身的子集（三）真子集的概念若集合BA，存在元素AxBx且，则称集合A是集合B的真子集（propersubset）。记作：AB（或BA）读作：A真包含于B（或B真包含A）举例（由学生举例，共同辨析）（四）空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（五）结论：○1AA○2BA，且CB，则CA（六）例题（1）写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。（2）化简集合A={x|x-32},B={x|x5}，并表示A、B的关系；【集合的基本运算】1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：A∪B读作：“A并B”即：A∪B={x|x∈A，或x∈B}Venn图表示：BAA∪BABA?说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。2.交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。记作：A∩B读作：“A交B”即：A∩B={x|∈A，且x∈B}交集的Venn图表示说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset）,简称为集合A的补集，记作：CUA即：CUA={x|x∈U且x∈A}补集的Venn图表示ABA(B)ABBABAAUCUA说明：补集的概念必须要有全集的限制4.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5.集合基本运算的一些结论：A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩AAA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=若A∩B=A，则AB，反之也成立若A∪B=B，则AB，反之也成立若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B6.课堂练习（1）设A={奇数}、B={偶数}，则A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B=（2）设A={奇数}、B={偶数}，则A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z___;__________CBA_____,__________CBA}25x0x|x{C}3x1|x{B}2x4|x{A)4(__________BA}Z21m|m{B}Z2n|n{A)3(那么，或，，集合，则，集合【基本运用】一．单项选择(1)设集合M=32x|x,又a=11.那么()(A)Ma(B)Ma(C)Ma(D)Ma(2)设全集d,c,b,aU,d,c,aM,d,bN,bP,则()(A)NMP(B)NMP(C))NC(MPu(D)N)MC(PU（3）对于任意x,y∈R，且xy≠0，则xyxyyyxx所组成的集合所含元素的个数为（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个(4)全集Ｕ＝Ｒ，Ａ＝{x||x|1}，Ｂ＝{x|x2-2x-30}，则（ＣＵＡ）Ｕ（ＣＵＢ）＝（）(A){x|x１或x３}(B)｛x|-1x3｝(C){x|-1x1}(D){x|-1x1}(5)集合cba,,的子集总共有()(A)7个(B)8个(C)6个(D)5个(6)设a为给定的实数，则集合Rx,02ax3x|x22的子集的个数是（）(A)1(B)2(C)4(D)不确定(7)集合QP,满足b,aQP.试求集合Q,P.问此题的解答共有()(A)9种;(B)4种;(C)7种;(D)16种(8)若A={1,3,x},B={x2,1},且A∪B＝{1,3,x}.则这样的x的不同值有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个(9)已知M＝{x|x≤1}，N＝{x|xp}，要使M∩N≠，则p应满足的条件是（）（A）p1（B）p≥1（C）p1（D）p≤1（10）设全集Ry,x|y,xU，集合12x3y|y,xM，2x3y|y,xT，那么(MCU)T等于（）（A）Φ(B)3,2(C)3,2(D)2x3y|y,x二．填空题（11）已知集合A={y|y=2x＋1,x＞0}，B={y|y=－x2＋9,x∈R},则A∩B=________.（12）设集合A＝{x|x=6k,k∈Z}，B＝{x|x=3k,k∈Z}，两个集合的关系可表示为AB.（13）设集合Rx,2x|xP，集合Nx,02xx|xQ2，则集合QP等于（14）设U＝R，集合A＝{x|x2＋px＋12=0,x∈N}，集合B＝{x|x2－5x＋q=0,x∈N}，且BACU={2},ABCU={4}，则p＋q的值等于.（15）设A={(x,y)|y=1-3x},B={(x,y)|y=(1-2k2)x+5},若A∩B=,则k的取值是____________.（16）用集合表示图中阴影部分____________.三．解答题（17）写出所有适合{a,b}A{a,b,c,d,e}的集合A.（18）若a0b｜a｜,A={x｜a≤x≤b},B={x｜－b≤x≤－a},试求A∪B,A∩B.（19）P=｛a2,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a2+1｝,P∩Q=｛-3｝,求a．（20）设集合Ａ＝{x|x2+(p+2)x+1=0}，且A{x|x0}=，求实数p的取值范围．【高考真题】集合与简易逻辑在近5年高考中的分值200720082009201020115分5分5分10分5分(2007年高考广东卷第1小题)已知函数1()1fxx的定义域为M，()ln(1)gxx的定义域为，则MN（）A．{x|x-1}B．{x|x＜1}C．{x|-1＜x＜1}D．(2009年高考广东卷第1小题).1.已知全集UR，集合{212}Mxx和{21,1,2,}Nxxkk的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A.3个B.2个C.1个D.无穷多个(2010年高考广东卷第1小题)若集合A={x-2＜x＜1}，B={x0＜x＜2}则集合A∩B=（）A.{x-1＜x＜1}B.{x-2＜x＜1}C.{x-2＜x＜2}D.{x0＜x＜1}1.D.{|21}{|02}{|01}ABxxxxxx．(2011年高考广东卷第2小题)已知集合,Axy∣,xy为实数，且221xy，,Bxy,xy为实数，且yx，则AB的元素个数为（）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3（2010天津文）设集合Ax||x-a|1,xR,|15,.ABBxxxR若，则实数a的取值范围是()(A)a|0a6(B)|2,aa或a4(C)|0,6aa或a(D)|24aa（2010全国Ⅱ文1）设全集U={x∈N*|x6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则CU{A∪B}=()（A）1,4（B）1,5（C）2,4（D）2,5（2009重庆卷文）若{Unn是小于9的正整数}，{AnUn是奇数}，{BnUn是3的倍数}，则()UCAB．