集合中的数学思想方法

集合中的数学思想方法数学思想是历年高考的重点。其包括:数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想等。下面通过例题透视集合中的数学思想。一、数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通,使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象,以期达到化难为易的目的。例1已知10,9,8,7,6,5,4,3,2,1I为全集,集合BA,为I的子集,且)(BCAI=7,4,1,3,2)(BACI,10,9,8,6)()(BCACII,那么集合A等于()A10,9,8,7,6,5,4,1B,7,4,1C,7,5,4,1D,7,5,4,3,2,1解:由于集合BA,将全集I划分为四个子集:)()(BCACII、)(BCAI、BACI)(、BA.所以借助于文氏图,可迅速做出判断,如图,易知I=()()(BCACII)()(BCAI)(BACI)()I(BA).将已知元素填入相应的集合,易知BA5.即A5,且B5.故应二、等价转化思想等价转化思想就是在解答问题时，需要对所给定的条件进行转化，只有通过转化，给定的条件才能以有效利用。例2已知集合01,0652mxxBxxxA,且ABA,则实数m组成的集合是_______.解:3,20652xxxAB是A的子集又B是A的真子集B或2B或3B当B时,0m当2B时,012m解得21m当3B时,013m解得31mm的值组成的集合是31,21,0三、分类讨论思想分类讨论的思想就是整体问题化为部分问题来解决,它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用.例3设集合0232xxxA,集合0432222pppxxxB.若B是A的子集,求实数p的取值范围.解:2,10232xxxA是A的子集B可能为、1、2或2,1方程0432222pppxx中,)4)(2(4pp⑴若2p或4p,则0,B为A的子集⑵若2p,原方程为02422xx,1B为A的子集⑶若4p,原方程为08822xx,2B为A的子集⑷若42p,则0,原方程有两个相异实根由B是A的子集得2,1B,解得3p综上得,当),4[3]2,(p时,B是A的子集四、函数与方程思想函数与方程思想就是将函数问题转化为方程问题，借助于二次方程的判别式列式求解。例4设01),(2xyyxA,05224),(2yxxyxB,Cbkxyyx),(,是否存在Nbk,,使得CBA)(,证明此结论.解:CA且CB0)1(4)12(2221bkbk,01442bkk此不等式有解,其充要条件是016162b,即12b①0)25(16)1(422bk019822bkk从而208b即5.2b②由①②及Nb,得2b代入由01和02组成的不等式组,得032018422kkkk1k故存在自然数,1k2b,使得CBA)(五、运用正难则反的补集思想解题例5已知函数12)2(24)(22ppxpxxf,在区间]1,1[上至少存在一个实数c使0)(cf,求实数p的取值范围.解:运用补集概念求解设所求p的范围为A,则ACI222)2(24)(]1,1[pxpxxfp上函数在01p注意到函数的图象开口向上233012)1(0932)1(22pppppfppfpACI或233PPA练习题关于x的不等式2)1(2)1(22aax与xax)1(320)13(2a)(Ra的解集分别为A和B,求使BA的a的取值范围.解:运用子集概念求解由已知得122axaxA,0)2)(13(xaxxB当31a时,213xaxB对任意实数]1,2[2aax,不等式213xa恒成立211322aaa1a当31a时,213xaxB此时131222aaa31a综上所述,所求a的取值范围是1a或31a