递归算法(C++版)教学ppt.

第四章递归算法前面已经介绍了关于递归调用这样一种操作，而递归程序设计是C++语言程序设计中的一种重要的方法，它使许多复杂的问题变得简单，容易解决了。递归特点是：函数或过程调用它自己本身。其中直接调用自己称为直接递归，而将A调用B，B以调用A的递归叫做间接递归。【例1】给定n（n=1）,用递归的方法计算1+2+3+4+...+(n-1)+n。【算法分析】本题可以用递归方法求解，其原因在于它符合递归的三个条件：(1)本题是累加问题：当前和=前一次和+当前项，而前一次和的计算方法与其相同，只是数据不同s(n)=s(n-1)+n;(2)给定n,所以是有限次的递归调用；(3)结束条件是当n=1，则s=1。【参考程序】#includeiostreamusingnamespacestd;intfac(int);//递归函数intmain(){intt;cint;//输入t的值couts=fac(t)endl;//计算1到t的累加和，输出结果}intfac(intn){if(n==1)return1;return(fac(n-1)+n);//调用下一层递归}运行程序，当T=5时，输出结果：S=15，其递归调用执行过程是：（设T=3）递归调用过程，实质上是不断调用过程或函数的过程，由于递归调用一次，所有子程序的变量（局部变量、变参等）、地址在计算机内部都有用特殊的管理方法——栈（先进后出）来管理，一旦递归调用结束，计算机便开始根据栈中存储的地址返回各子程序变量的值，并进行相应操作。【例2】设有N个数已经按从大到小的顺序排列，现在输入X，判断它是否在这N个数中，如果存在则输出：“YES”否则输出“NO”。【算法分析】该问题属于数据的查找问题，数据查找有多种方法，通常方法是：顺序查找和二分查找，当N个数排好序时，用二分查找方法速度大大加快。二分查找算法：（1）设有N个数，存放在A数组中，待查找数为X，用L指向数据的高端，用R指向数据的低端，MID指向中间：（2）若X=A[MID]输出“YES”；（3）若XA[MID]则到数据后半段查找：R不变，L=MID+1，计算新的MID值，并进行新的一段查找；（4）若XA[MID]则到数据前半段查找：L不变，R=MID-1，计算新的MID值，并进行新的一段查找；（5）若LR都没有查找到，则输出“NO”。该算法符合递归程序设计的基本规律，可以用递归方法设计。【参考程序】#includeiostream#includecstdlibusingnamespacestd;inta[11];voidsearch(int,int,int);intmain()//主程序{intk,x,L=1,R=10;cout输入10个从大到小顺序的数：endl;for(k=1;k=10;k++)cina[k];cinx;search(x,L,R);system(pause);}voidsearch(intx,inttop,intbot)//二分查找递归过程{intmid;if(top=bot){mid=(top+bot)/2;//求中间数的位置if(x==a[mid])coutYESendl;//找到就输出elseif(xa[mid])search(x,mid+1,bot);//判断在前半段还是后半段查找elsesearch(x,top,mid-1);}elsecoutNOendl;}【例3】Hanoi汉诺塔问题有N个圆盘，依半径大小（半径都不同），自下而上套在A柱上，每次只允许移动最上面一个盘子到另外的柱子上去（除A柱外，还有B柱和C柱，开始时这两个柱子上无盘子），但绝不允许发生柱子上出现大盘子在上，小盘子在下的情况，现要求设计将A柱子上N个盘子搬移到C柱去的方法。【算法分析】本题是典型的递归程序设计题。(1)当N=1时，只有一个盘子，只需要移动一次:A—C;(2)当N=2时，则需要移动三次：A------1------B,A------2------C,B------1------C.(3)如果N=3，则具体移动步骤为：假设把第3步，第4步，第7步抽出来就相当于N=2的情况（把上面2片捆在一起，视为一片）：所以可按“N=2”的移动步骤设计：①如果N=0，则退出，即结束程序;否则继续往下执行;②用C柱作为协助过渡，将A柱上的（N-1）片移到B柱上，调用过程mov(n-1,a,b,c);③将A柱上剩下的一片直接移到C柱上;④用A柱作为协助过渡，将B柱上的（N-1）移到C柱上，调用过程mov(n-1,b,c,a)。【参考程序】#includeiostreamusingnamespacestd;intk=0,n;voidmov(intn,chara,charc,charb)//用b柱作为协助过渡，将a柱上的（n）移到c柱上{if(n==0)return;//如果n=0，则退出，即结束程序mov(n-1,a,b,c);//用c柱作为协助过渡，将a柱上的（n-1）片移到b柱上k++;coutk:froma--cendl;mov(n-1,b,c,a);//用a柱作为协助过渡，将b柱上的（n-1）移到c柱上}intmain(){coutn=;cinn;mov(n,'a','c','b');}程序定义了把n片从A柱移到C柱的过程mov(n,a,c,b)，这个过程把移动分为以下三步来进行：①先调用过程mov(n-1,a,b,c)，把(n-1)片从A柱移到B柱,C柱作为过渡柱;②直接执行writeln(a,’--＞’,c)，把A柱上剩下的一片直接移到C柱上，;③调用mov(n-1,b,c,a)，把B柱上的(n-1)片从B移到C柱上，A柱是过渡柱。对于B柱上的(n-1)片如何移到C柱，仍然调用上述的三步。只是把(n-1)当成了n，每调用一次，要移到目标柱上的片数N就减少了一片，直至减少到n=0时就退出，不再调用。exit是退出指令，执行该指令能在循环或递归调用过程中一下子全部退出来。mov过程中出现了自己调用自己的情况，在Pascal中称为递归调用，这是Pascal语言的一个特色。对于没有递归调用功能的程序设计语言，则需要将递归过程重新设计为非递归过程的程序。【例4】用递归的方法求斐波那契数列中的第N个数【参考程序】#includeiostreamusingnamespacestd;inta[11];intfib(int);intmain(){intm;cinm;coutfib(m)=fib(m);}intfib(intn){if(n==0)return0;//满足边界条件，递归返回if(n==1)return1;//满足边界条件，递归返回return(fib(n-1)+fib(n-2));//递归公式，进一步递归}输入15输出fib(15)=610【例5】集合的划分【问题描述】设S是一个具有n个元素的集合，S＝｛a1，a2，……，an｝，现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1，S2，……，Sk，且满足：则称S1，S2，……，Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1，a2，……，an放入k个（0＜k≤n＜30＝无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1，a2，……，an放入k个无标号盒子中去的划分数S(n，k)。【输入样例】setsub.in237【输出样例】setsub.out4382641999117305【算法分析】先举个例子，设S＝｛1，2，3，4｝，k＝3，不难得出S有6种不同的划分方案，即划分数S(4，3)=6，具体方案为：｛1，2｝∪｛3｝∪｛4｝｛1，3｝∪｛2｝∪｛4｝｛1，4｝∪｛2｝∪｛3｝｛2，3｝∪｛1｝∪｛4｝｛2，4｝∪｛1｝∪｛3｝｛3，4｝∪｛1｝∪｛2｝考虑一般情况，对于任意的含有n个元素a1，a2，……，an的集合S，放入k个无标号的盒子中去，划分数为S(n，k)，我们很难凭直觉和经验计算划分数和枚举划分的所有方案，必须归纳出问题的本质。其实对于任一个元素an，则必然出现以下两种情况：1、｛an｝是k个子集中的一个，于是我们只要把a1，a2，……，an-1划分为k－1子集，便解决了本题，这种情况下的划分数共有S(n－1，k－1)个；2、｛an｝不是k个子集中的一个，则an必与其它的元素构成一个子集。则问题相当于先把a1，a2，……，an-1划分成k个子集，这种情况下划分数共有S(n－1，k)个；然后再把元素an加入到k个子集中的任一个中去，共有k种加入方式，这样对于an的每一种加入方式，都可以使集合划分为k个子集，因此根据乘法原理，划分数共有k*S(n－1，k)个。综合上述两种情况，应用加法原理，得出n个元素的集合｛a1，a2，……，an｝划分为k个子集的划分数为以下递归公式：S(n，k)＝S(n－1，k－1)+k*S(n－1，k)(nk，k0)。下面，我们来确定S(n，k)的边界条件,首先不能把n个元素不放进任何一个集合中去，即k=0时，S(n，k)＝0；也不可能在不允许空盒的情况下把n个元素放进多于n的k个集合中去，即k＞n时,S(n，k)＝0；再者，把n个元素放进一个集合或把n个元素放进n个集合，方案数显然都是1，即k=1或k=n时，S(n,k)=1。因此，我们可以得出划分数S(n，k)的递归关系式为：S(n，k)＝S(n－1，k－1)+k*S(n－1，k)(nk，k0)S(n，k)＝0(nk)或(k＝0)S(n，k)＝1(k=1)或(k＝n)【参考程序】#includeiostreamusingnamespacestd;ints(intn,intk)//数据还有可能越界，请用高精度计算{if((nk)||(k==0))return0;//满足边界条件，退出if((k==1)||(k==n))return1;returns(n-1,k-1)+k*s(n-1,k);//调用下一层递归}intmain(){intn,k;cinnk;couts(n,k);return0;}【例6】数的计数(Noip2001)【问题描述】我们要求找出具有下列性质数的个数（包括输入的自然数n）。先输入一个自然数n（n≤1000），然后对此自然数按照如下方法进行处理：不作任何处理；在它的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过原数的一半；加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加自然数为止。输入：自然数n（n≤1000）输出：满足条件的数【输入样例】6满足条件的数为6(此部分不必输出)162612636136【输出样例】6【方法一】用递归，f(n)=1+f(1)+f(2)+…+f(div/2)，当n较大时会超时，时间应该为指数级。【参考程序】#includeiostreamusingnamespacestd;intans;voiddfs(intm)//统计m所扩展出的数据个数{inti;ans++;//每出现一个原数，累加器加1；for(i=1;i=m/2;i++)//左边添加不超过原数一半的自然数，作为新原数dfs(i);}intmain(){intn;cinn;dfs(n);coutans;return0;}【方法二】：用记忆化搜索，实际上是对方法一的改进。设h[i]表示自然数i满足题意三个条件的数的个数。如果用递归求解，会重复来求一些子问题。例如在求h[4]时，需要再求h[1]和h[2]的值。现在我们用h数组记录在记忆求解过程中得出的所有子问题的解，当遇到重叠子问题时，直接使用前面记忆的结果。【参考程序】#includeiostreamusingnamespacestd;inth[1001];voiddfs(intm){inti;if