集合函数与导数测试题及详解答案

-1-专题一集合、函数与导数测试题1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{1,3}，N＝{2,3,4}，则(∁UM)∩(∁UN)＝()A．{3}B．{4,6}C．{5,6}D．{3,6}2．已知全集I＝R，若函数f(x)＝x2－3x＋2，集合M＝{x|f(x)≤0}，N＝{x|f′(x)0}，则M∩∁IN＝()A.32，2B.32，2C.32，2D.32，23．设某种蜡烛所剩长度P与点燃时间t的函数关系式是P＝kt＋b.若点燃6分钟后，蜡烛的长为17.4cm；点燃21分钟后，蜡烛的长为8.4cm，则这支蜡烛燃尽的时间为()A．21分钟B．25分钟C．30分钟D．35分钟4．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“綈p且q”是真命题，则实数a的取值范围为()A．a≤－2或a＝1B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1D．a15．幂函数f(x)＝xn(n＝1,2,3，12，－1)具有如下性质：f2(1)＋f2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则函数f(x)()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数6．(2012·潍坊模拟)已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是()A.－32，3B.32，6C．[3,12]D.－32，127．设集合I是全集，A⊆I，B⊆I，则“A∪B＝I”是“B＝∁IA”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．若曲线xy＝a(a≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是()A．2a2B．aC．2|a|D．|a|9．(2012·天津模拟)定义在R上的函数f(x)满足(x－1)f′(x)≤0，且y＝f(x＋1)为偶函数，当|x1－1||x2－1|时，有()A．f(2－x1)f(2－x2)B．f(2－x1)＝f(2－x2)-2-C．f(2－x1)f(2－x2)D．f(2－x1)≤f(2－x2)10．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象的形状大致是()ABCD11．已知函数f(x)＝lna＋lnxx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是()A．0a1eB．0a≤eC．a≤eD．a≥e12．有下列命题：①函数y＝cosx－π4cosx＋π4的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y＝x＋3x－1的图象关于点(－1,1)对称；③关于x的方程ax2－2ax－1＝0有且仅有一个实数根，则实数a＝－1；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则綈p：存在x∈R，使得sinx1.其中所有真命题的序号是()-3-A．①②B．③④C．②③④D．①②④二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13．已知函数f(x)＝fx＋2，x≤－12x＋2，－1x1，2x－4，x≥1则f[f(－2012)]＝________.14．已知函数f(x)＝ln1＋x1－x＋sinx，则关于a的不等式f(a－2)＋f(a2－4)0的解集是________．15．已知函数f(x)＝12mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．16．(2011·扬州模拟)若函数f(x)＝13x3－a2x满足：对于任意的x1，x2∈[0,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤1恒成立，则a的取值范围是________．17(2012·安徽)设函数f(x)＝aex＋1aex＋b(a0)．(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．18设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且当－1≤x0时，f(x)＝2x3＋5ax2＋4a2x＋b.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当1a≤3时，求函数f(x)在(0,1]上的最大值g(a)．-4-19(2012·广东)设a1，集合A＝{x∈R|x0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a0}，D＝A∩B.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．20(2012·辽宁)设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝32x在(0,0)点相切．(1)求a，b的值；(2)证明：当0x2时，f(x)9xx＋6.21．(2012·福建)已知函数f(x)＝ex＋ax2－ex，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P?w。w-w*k&s%5￥u专题一集合、函数与导数测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{1,3}，N＝{2,3,4}，则(∁UM)∩(∁UN)＝()A．{3}B．{4,6}-5-C．{5,6}D．{3,6}解析∁UM＝{2,4,5,6}，∁UN＝{1,5,6}，∴(∁UM)∩(∁UN)＝{5,6}，故选C.答案C2．已知全集I＝R，若函数f(x)＝x2－3x＋2，集合M＝{x|f(x)≤0}，N＝{x|f′(x)0}，则M∩∁IN＝()A.32，2B.32，2C.32，2D.32，2解析由f(x)≤0解得1≤x≤2，故M＝[1,2]；f′(x)0，即2x－30，即x32，故N＝(－∞，32)，∁IN＝32，＋∞.故M∩∁IN＝32，2.答案A3．设某种蜡烛所剩长度P与点燃时间t的函数关系式是P＝kt＋b.若点燃6分钟后，蜡烛的长为17.4cm；点燃21分钟后，蜡烛的长为8.4cm，则这支蜡烛燃尽的时间为()A．21分钟B．25分钟C．30分钟D．35分钟解析由17.4＝6k＋b8.4＝21k＋b，解得k＝－0.6，b＝21，由0＝－0.6t＋21，解得t＝35.答案D4．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“綈p且q”是真命题，则实数a的取值范围为()A．a≤－2或a＝1B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1D．a1解析命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，∴a≤x2在[1,2]上恒成立，∴a≤1，∴綈p为a1.命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，∴方程有解，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，a2＋a－2≥0，∴a≥1或a≤－2.若命题“綈p且q”是真命题，则a1，故选D.答案D5．(2012·山东肥城模拟)幂函数f(x)＝xn(n＝1,2,3，12，－1)具有如下性质：f2(1)＋f2(－1)＝-6-2[f(1)＋f(－1)－1]，则函数f(x)()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数解析由f2(1)＋f2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]⇒n＝2，f(x)＝x2为偶函数，所以选B.答案B6．(2012·潍坊模拟)已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是()A.－32，3B.32，6C．[3,12]D.－32，12解析f′(x)＝3x2＋4bx＋c，由题意，得f′－2＝12－8b＋c≥0，f′－1＝3－4b＋c≤0，f′1＝3＋4b＋c≤0，f′2＝12＋8b＋c≥0.f(－1)＝2b－c，当直线z＝2b－c过A时f(－1)取最小值3，当直线过B时取最大值12，故选C.-7-答案C7．设集合I是全集，A⊆I，B⊆I，则“A∪B＝I”是“B＝∁IA”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由B＝∁IA⇒A∪B＝I，而A∪B＝I⇒/B＝∁IA，故“A∪B＝I”是“B＝∁IA”的必要不充分条件．答案B8．若曲线xy＝a(a≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是()A．2a2B．a2C．2|a|D．|a|解析设切点坐标为(x0，y0)，曲线方程即y＝ax，y′＝－ax2，故切线斜率为－ax20，切线方程为y－ax0＝－ax20(x－x0)．令y＝0，得x＝2x0，即切线与x轴的交点A的坐标为(2x0,0)；令x＝0，得y＝2ax0，即切线与y轴的交点B的坐标为(0，2ax0)．故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|2x0||2ax0|＝2|a|.答案C9．(2012·天津模拟)定义在R上的函数f(x)满足(x－1)f′(x)≤0，且y＝f(x＋1)为偶函数，当|x1－1||x2－1|时，有()A．f(2－x1)f(2－x2)B．f(2－x1)＝f(2－x2)C．f(2－x1)f(2－x2)D．f(2－x1)≤f(2－x2)解析由(x－1)f′(x)≤0⇒x－1≤0，f′x≥0，或x－1≥0，f′x≤0，得函数f(x)在区间(－∞，1]上为增函数，在区间[1，＋∞)上为减函数．又由y＝f(x＋1)为偶函数，得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．由|x1－1||x2－1|⇒(x1－x2)(x1＋x2－2)0⇒x1x2，x1＋x22，或x1x2，x1＋x22.-8-若x1x2，x1＋x22，则x21.此时，当x11，则f(x1)f(x2)，即f(2－x1)f(2－x2)；当x11⇒2－x11，又x22－x1⇒f(2－x1)f(x2)，即f(2－x1)f(2－x2)．同理，当x1x2x1＋x22时，也有上述结论．答案A10．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象的形状大致是()ABCD-9-解析y＝12x，0≤x≤1，－14x＋34，1x≤2，－12x＋54，2x≤2.5，选A.答案A11．已知函数f(x)＝lna＋lnxx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是()A．0a1eB．0a≤eC．a≤eD．a≥e解析f′(x)＝1x·x－lna＋lnxx2＝1－lna＋lnxx2，因为f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e，选D.答案D12．有下列命题：①函数y＝cosx－π4cosx＋π4的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y＝x＋3x－1的图象关于点(－1,1)对称；③关于x的方程ax2－2ax－1＝0有且仅有一个实数根，则实数a＝－1；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则綈p：存在x∈R，使得sinx1.其中所有真命题的序号是()A．①②B．③④C．②③④D．①②④解析①函数y＝cos(x－π4)cos(x＋π4)＝12cos2x，相邻两个对称中心的距离为d＝T2＝π2，故①不正确；②函数y＝x＋3x－1的图象对称中心应为(1,1)，故②不正确；③正确；④正确．答案B二、填空题：本大题共4