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赋值法在高中数学中的应用康乐一中倾转莉(一)判断函数的奇偶性例1已知函数y=f(x)(x∈R,x≠0),对任意非零实数x1x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),试判断f(x)的奇偶性。(二)讨论函数的单调性例2.设f(x)定义于实数集R上,当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),求证f(x)在R上为增函数。(三)求函数的值域例3已知函数f(x)在定义域x∈R+上是增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y)(x、y∈R+),求f(x)的值域。(四)判断函数的周期性例4函数f(x)定义域为R,对任意实数a、b∈R,有f(a+b)=2f(a)f(b),且存在c0,使02cf,求证f(x)是周期函数。(五)求函数的解析式例5设对满足|x|≠1的所有实数x,函数f(x)满足xxxfxxf1313,求f(x)的解析式。有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。二.赋值法在二项式定理中的应用在二项式定理(a+b)n=0nCan+1nCan-1b+…1nnCabn-1+nnCbn(n∈N)中,给a,b赋予一些特殊值,或者在(1+x)n=1+1nCx+…1nnCxn-1+nnCxn中给x一些特殊值,可以得到相应的系数,所以“赋值法”在二项式定理求系数和中最常见。例题6:在10)32(yx的展开式中,求:①二项式系数的和;②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;④奇数项系数和与偶数项系数和;⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数rnC,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式yx32中的系数无关..点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,.定理:对于101()()()nnnfxaxaaxaa,令1,xa即1xa可得各项系数的和012naaaa的值;令1,xa即1xa,可得奇数项系数和与偶数项和的关系奎屯王新敞新疆三.赋值法在算法中的应用赋值是算法中的难点之一,理解赋值对于理解算法是非常重要的。例如,a=5,就表示变量a被赋予的值是5,这个被赋值的变量可以与其他的值进行运算。对于被赋值的变量a,还可以赋予其它的值取代原来的值。我们可以用磁带录音来比喻赋值,在我们录音时,是把磁带上旧的录音材料冲掉之后,才能把新的录音材料加载上去。同样的道理,我们这里的赋值也是先把原来的值清零之后,再把新的值赋上去。下面我们通过一个例子来说明如何设置变量和给变量赋值。例8:设计一个算法,从5个不同的数中找出最大数。解:记这5个不同的数分别为a1,a2,a3,a4,a5,算法步骤如下:1、比较a1与a2将较大的数记作b.(在这一步中,b表示的是前2个数中的最大数)2、再将b与a3进行比较,将较大的数记作b.(执行完这一步后,b的值就是前3个数中的最大数)3、再将b与a4进行比较,将较大的数记作b.(执行完这一步后,b的值就是前4个数中的最大数)4、再将b与a5进行比较,将较大的数记作b.(执行完这一步后,b的值就是前5个数中的最大数)5、输出b,b的值即为所求得最大数。分析:上述算法的4个步骤中,每步都要与上一步中得到的最大数b进行比较,得出新的最大数。b可以取不同的值,b就称之为变量。在第1步到第4步的算法过程中,我们都把比较后的较大数记作b,即把值赋予了b,这个过程就是赋值的过程,这个过程有两个功能,第一,我们可以不断地对b的值进行改变,即把数值放入b中;第二,b的值每变化一次都是为下一步的比较服务。四.在恒成立问题中的应用例9、是否存在实数a,bc,使得函数f(x)=ax2+bx+c对于任意实数a均满足下列条件:(1)f(sin)≥2;(2)f(2-cos)≤2;(3)f(4)≥c,若存在,找出一组数a,bc,并画出函数的图象,若不存在,说明理由。分析:若直接把sin、2-cos、4代入原函数化简,方程个数较多,自变量形式复杂,给解题带来一定难度,注意到题目中条件对一切实数均能使等式恒成立,故不妨令为特殊值为突破口。解:在(1)中令sin=1,则有f(1)≥2,在(2)中令cos=1,则有f(1)≤2,∴f(1)=2,即a+b+c=2;由f(4)≥c,得4a+b≥0,在(2)中令cos=-1,可得f(3)≤-2,化简即得4a+b≤0,可得4a=-b,则可求得c=3a+2;∴f(x)=ax2-4ax+3a+2=a(x-2)2+2-a----------------(1)在(2)中令cos=0,有f(2)=2-a≤2,∴a≥0,则(1)式表示开口向上,对称轴为x=2的抛物线,取a=1,此时b–4,c=5,所得抛物线符合题意。五.在解选择题及填空中的特殊应用选择题、填空题因其题目的特殊性,在有些问题中不要求有严密的推理证明,而只要能借助于一些特殊方法写出正确结果即可,故其应用相当普遍。例10、如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=8对称,那么a=()A、1B、-1C2D-2。略解:取x=0及x=4,则f(0)=f(4),即a=-1。例11、当a∈R时,关于x,y的方程(x2+y2+x+y)-a(x+2y+1)=0表示的曲线是轴对称图形,则它们的公共对称轴方程()Ax+2y+1=0B4x+2y+1=0C4x-2y+1=0D2x-4y+1=0略解:既然上述对称轴对一切a∈R都成立,不妨令a=0,则方程变为:x2+y2+x+y=0,即(x+21)2+(y+21)2=41,此曲线为圆,圆心坐标为(21,21),只适合于C,故答案为C。例12、△ABC中,角A,B,C依次成等差数列,则a+c与2b的大小()Aa+c2bBa+c2bCa+c≥2bDa+c≤2b略解:题中没有给定三角形的形状,不妨令A=B=C=600,则可排除A、B,再取角A,B,C分别为300,600,900,可排除C,故答案为D。例10、定义在实数集上的函数f(x)=(x+a)3,满足f(x+1)=-f(1-x),则f(2)+f(-3)=。1o2xy略解:∵f(x+1)=-f(1-x)对一切x∈R都成立,当然可以把x+1和1-x分别代入函数关系式得:(x+1+a)3=(1-x+a)3,化简后得到a的值。然而既然f(x+1)=-f(1-x)对一切x∈R都成立,不妨令x=0,可得f(1)=0,代入原函数关系可得a=-1,即f(x)=(x-1)3,故f(2)+f(-3)=-63。参考文献:例1.解:取x1=-1,x2=1得f(-1)=f(-1)+(1),所以f(1)=0又取x1=x2=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0再取x1=x,x2=-1,则有f(-x)=f(x),即f(-x)=f(x)因为f(x)为非零函数,所以f(x)为偶函数。例2.证明:由f(x+y)=f(x)f(y)中取x=y=0得f(0)=f2(0)。若f(0)=0,令x>0,y=0,则f(x)=0,与f(x)>1矛盾。所以f(0)≠0,即有f(0)=1。当x>0时,f(x)>1>0,当x0时,f(-x)10,而0)(1)(xfxf,又x=0时,f(0)=0,所以f(x)∈R,f(x)0。设x1x2,则x1x20,f(x2-x1)1,所以f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)·f(x2-x1)f(x1),所以y=(x)在R上为增函数。例3.解:因为x=y=1时,(1)=2f(1),所以f(1)=0又因为(x)在定义域R+上是增函数,所以x1x20时,令x1=mx2(m1),则f(x1)-f(x2)=f(m·x2)-f(x2)=f(m)+f(x2)-f(x2)=f(m)0。得以对于x1有f(x)0。又设x1=mx20(0m1),则0x1x2。所以由函数在R+上递增可得f(x1)-f(x2)0,即f(mx2)-f(x2)=f(m)+f(x2)-f(x2)=f(m)0。所以对于0x1有f(x)0。综上所述:当x∈R+时,f(x)的值域为R。例4证明:令2cxa,2cb,代入f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)可得:f(x+c)=-f(x)。所以f(x+2c)=f[(x+c)+c]=-f(x+c)=f(x),即f(x+2c)=f(x)。则f(x)是以2c为周期的函数。.例5.解:将x取为13xx代入原等式,有13)(13xxxfxxf,(1)将x取为xx13代入原等式,有xxxxfxf1313)(。(2)(1)+(2),且将原等式代入即得)1|(|227)(23xxxxxf例6.解:设10102829110010)32(yayxayxaxayx(*),各项系数和即为1010aaa,奇数项系数和为0210aaa,偶数项系数和为9531aaaa,x的奇次项系数和为9531aaaa,x的偶次项系数和10420aaaa.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102CCC.②令1yx,各项系数和为1)1()32(1010.③奇数项的二项式系数和为910102100102CCC,偶数项的二项式系数和为99103101102CCC.④设10102829110010)32(yayxayxaxayx,令1yx,得到110210aaaa…(1),令1x,1y(或1x,1y)得101032105aaaaa…(2)(1)+(2)得10102051)(2aaa,∴奇数项的系数和为25110;(1)-(2)得1093151)(2aaa,∴偶数项的系数和为25110.⑤x的奇次项系数和为251109531aaaa;x的偶次项系数和为2511010420aaaa
本文标题:赋值法在高中数学中的应用
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