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基础巩固强化一、选择题1.(2013·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)=log2x+1,x32x-3+1,x≤3满足f(a)=3,则f(a-5)的值为()A.log23B.1716C.32D.1[答案]C[解析]∵f(a)=3,∴a≤3,2a-3+1=3,①或a3,log2a+1=3.②①无解,由②得,a=7,所以f(a-5)=22-3+1=32,选C.2.(文)已知0a1,logamlogan0,则()A.1nmB.1mnC.mn1D.nm1[答案]A[解析]由0a1得函数y=logax为减函数.又由logamlogan0=loga1,得mn1,故应选A.(理)(2013·山东威海期末)下列四个数中最大的是()A.(ln2)2B.ln(ln2)C.ln2D.ln2[答案]D[解析]由0ln21,得ln(ln2)0,因此ln(ln2)是最小的一个;由于y=lnx为增函数,因此ln2ln2;那么最大的只能是A或D;因为0ln21,故(ln2)2ln2.3.(文)(2013·宣城二模)若a=ln264,b=ln2·ln3,c=ln2π4,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cabC.cbaD.bac[答案]A[解析]∵ln6lnπ1,∴ac,排除B,C;b=ln2·ln3(ln2+ln32)2=ln264=a,排除D,故选A.(理)若x∈(110,1),a=lgx,b=lg2x,c=12lgx,则a、b、c的大小关系是()A.abcB.acbC.cabD.bca[答案]B[解析]∵110x1,∴-1lgx0,∴0lg2x1,∵a-c=lgx-12lgx=12lgx0,∴ac,故acb,故选B.4.(文)(2013·开封一模)已知f(x)是奇函数,且f(2-x)=f(x),当x∈(2,3)时,f(x)=log2(x-1),则当x∈(1,2)时,f(x)=()A.-log2(4-x)B.log2(4-x)C.-log2(3-x)D.log2(3-x)[答案]C[解析]依题意得f(x+2)=f(-x)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x).当x∈(1,2)时,x-4∈(-3,-2),4-x∈(2,3),故f(x)=f(x-4)=-f(4-x)=-log2(4-x-1)=-log2(3-x),选C.(理)(2013·乌鲁木齐第一次诊断)函数f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1-x),则f(x)-g(x)()A.是奇函数B.是偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数[答案]A[解析]f(x)-g(x)的定义域为(-1,1),记F(x)=f(x)-g(x)=log21+x1-x,则F(-x)=log21-x1+x=log2(1+x1-x)-1=-log21+x1-x=-F(x),故f(x)-g(x)是奇函数.5.(文)函数f(x)=|log12x|的图象是()[答案]A[解析]f(x)=|log12x|=|log2x|=log2xx≥1,-log2x0x1.故选A.[点评]可用筛选取求解,f(x)的定义域为{x|x0},排除B、D,f(x)≥0,排除C,故选A.(理)(2012·河南豫东、豫北十所名校段测)函数y=ln|1x|与y=-x2+1在同一平面直角坐标系内的大致图象为()[答案]C[解析]y=ln|1x|为偶函数,当x0时,y=ln1x=-lnx为减函数,故排除A、B;y=-x2+1≤0,其图象在x轴下方,排除D,故选C.6.(文)(2012·湖南文,7)设ab1,c0,给出下列三个结论:①cacb;②acbc;③logb(a-c)loga(b-c).其中所有的正确结论的序号是()A.①B.①②C.②③D.①②③[答案]D[解析]本题考查不等式性质,比较大小.ca-cb=cb-aab,∵ab1,c0,∴cb-aab0,cacb,①正确;ab1,acbc,②正确;∵a-cb-c1,∴logb(a-c)logb(b-c)loga(b-c),③正确.[点评]比较大小的方法有作差法、单调性法等.(理)(2013·北京东城区检测)给出下列命题:①在区间(0,+∞)上,函数y=x-1,y=x12,y=(x-1)2,y=x3中有3个是增函数;②若logm3logn30,则0nm1;③若函数f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称;④已知函数f(x)=3x-2,x≤2log3x-1,x2,则方程f(x)=12有2个实数根,其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4[答案]C[解析]命题①中,在(0,+∞)上只有y=x12,y=x3为增函数,故①不正确;②中第1个不等式等价于log31log3mlog3n,故0nm1,②正确;③中函数y=f(x-1)的图象是把y=f(x)的图象向右平移1个单位得到的,由于函数y=f(x)的图象关于坐标原点对称,故函数y=f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称,③正确;④中当3x-2=12时,x=2+log3122,当log3(x-1)=12时,x=1+32,故方程f(x)=12有2个实数根,④正确.故选C.二、填空题7.(文)函数y=log23-x2的定义域为________.[答案]{x|1≤x2或-2x≤-1}[解析]要使函数有意义,应满足log23(2-x2)≥0,∵y=log23x为减函数,∴02-x2≤1,∴1≤x22,∴1≤x2或-2x≤-1.(理)函数f(x)=ln1+1x-1的定义域是________.[答案](-∞,0)∪(1,+∞)[解析]要使f(x)有意义,应有1+1x-10,∴xx-10,∴x0或x1.8.(文)(2013·河南鹤壁一模)若正整数m满足10m-1251210m,则m=________.(lg2≈0.3010)[答案]155[解析]不等式10m-1251210m两边同时取以10为底的对数,则m-1512lg2,m512lg2,∴154.112m155.112,∴m=155.(理)(2013·天津塘沽一模)若f(x)=ax-12,且f(lga)=10,则a=________.[答案]10或1010[解析]9.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是________.[答案]x=5[解析]原方程化为log3(x2-10)=log3(3x),由于log3x在(0,+∞)上严格单增,则x2-10=3x,解之得x1=5,x2=-2.∵要使log3x有意义,应有x0,∴x=5.三、解答题10.(文)(2013·广西桂林一模)已知函数f(x)=loga(ax-1)(a0且a≠1).(1)证明函数f(x)的图象在y轴的一侧;(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1x2)是f(x)图象上两点,证明直线AB的斜率大于0.[证明](1)由ax-10,得ax1.当a1时,解得x0,此时f(x)的图象在y轴右侧;当0a1时,解得x0,此时f(x)的图象在y轴左侧.∴对a0且a≠1的任意实数a,f(x)的图象总在y轴一侧.(理)(2013·北京朝阳期末)已知f(x)=log3x2+ax+bx,x∈(0,+∞),是否存在实数a,b,使f(x)同时满足下列条件:①在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数;②f(x)的最小值是1.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.[解析]假设存在实数a,b使命题成立,∵f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,∴x=1时,f(x)取得最小值1,∴log31+a+b1=1,∴a+b=2.∵f(x)在(0,1)上是减函数,设0x1x21,∴f(x1)f(x2)恒成立,即x21+ax1+bx1x22+ax2+bx2恒成立,整理得x1-x2x1x2-bx1x20恒成立.∵0x1x21,∴x1-x20,x1x20,∴x1x2-b0恒成立,即x1x2b恒成立,而x1x21,∴b≥1.同理,f(x)在[1,+∞)上是增函数,可得b≤1,∴b=1.又∵a+b=2,∴a=1.故存在a=1,b=1同时满足题中条件.能力拓展提升一、选择题11.(文)(2012·广东深圳市一调)已知符号函数sgn(x)=1,x0,0,x=0,-1,x0,则函数f(x)=sgn(lnx)-ln2x的零点个数为()A.4B.3C.2D.1[答案]C[解析]由题意得f(x)=sgn(lnx)-ln2x=1-ln2x,x1,-ln2x,x=1,-1-ln2x,0x1,则令1-ln2x=0⇒x=e或x=1e(舍去);令-ln2x=0⇒x=1;当-1-ln2x=0时,方程无解,所以f(x)=sgn(lnx)-ln2x有两个零点,故选C.(理)已知函数f(x)=(15)x-log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0x1x0,则f(x1)的值()A.不小于0B.恒为正数C.恒为负数D.不大于0[答案]B[解析]若实数x0是方程f(x)=0的解,即x0是函数y=(15)x和y=log3x的图象的交点的横坐标,因为0x1x0,画图易知(15)x1log3x1,所以f(x1)恒为正数.12.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x0时,f(x)=2014x+log2014x,则方程f(x)=0的实根的个数为()A.1B.2C.3D.5[答案]C[解析]当x0时,f(x)=0即2014x=-log2014x,在同一坐标系下分别画出函数f1(x)=2014x,f2(x)=-log2014x的图象(图略),可知两个图象只有一个交点,即方程f(x)=0只有一个实根,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x0时,方程f(x)=0也有一个实根,又因为f(0)=0,所以方程f(x)=0的实根的个数为3.13.(2013·湖南张家界一模)若logmn=-1,则m+3n的最小值是()A.22B.23C.2D.52[答案]B[解析]由logmn=-1,得m-1=n,则mn=1.由于m0,n0,∴m+3n≥23mn=23.故选B.二、填空题14.(文)(2013·安徽师大附中、安庆一中联考)已知函数f(x)的定义域为A,若其值域也为A,则称区间A为f(x)的保值区间.若g(x)=x+m+lnx的保值区间是[e,+∞),则m的值为________.[答案]-1[解析]由题意得,g(x)的值域为[e,+∞),由x≥e时,g′(x)=1+1x0,所以当x≥e时,g(x)为增函数,由题意可得g(e)=e+m+1=e,解得m=-1.(理)对任意实数a、b,定义运算“*”如下:a*b=a,a≤b,b,ab.则函数f(x)=log12(3x-2)*log2x的值域为________.[答案](-∞,0][解析]易知函数f(x)的定义域为(23,+∞),在同一直角坐标系中画出函数y=log12(3x-2)和y=log2x的图象,由a*b的定义可知,f(x)的图象为图中实线部分,∴由图象可得f(x)=log2x,23x≤1,log123x-2,x1.的值域为(-∞,0].15.(文)(2013·四川)lg5+lg20的值是________.[答案]1[解析]lg5+lg20=lg100=lg10=1.(理)(2013·北京)函数f(x)=log12x,x≥12x,x1的值域为________.[答案](-∞,2)[解析]当x≥1时,log12x≤log121,即log12x≤0;当x1时,02x21,即02x2.故f(x)的值域为(-∞
本文标题:走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学2-5
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