走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学4-7

基础巩固强化一、选择题1．(文)已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．aB.3aC.2aD．2a[答案]B[解析]由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2，得AB＝3a，故选B.(理)某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值为()A.3B．23C．23或3D．3[答案]C[解析]如图，△ABC中，AC＝3，BC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，∴3＝x2＋9－6x·cos30°，∴x＝3或23.2．一艘海轮从A处出发，以每小时40nmile的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()A．102nmileB．103nmileC．202nmileD．203nmile[答案]A[解析]如图，由条件可知△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°，由正弦定理得BCsin30°＝20sin45°，∴BC＝102，故选A.3．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是()A．103nmileB.1063nmileC．52nmileD．56nmile[答案]D[解析]在△ABC中由正弦定理得10sin45°＝BCsin60°，∴BC＝56.4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°[答案]C[解析]如图，BD＝1，∠DBC＝20°，∠DAC＝10°，在△ABD中，由正弦定理得1sin10°＝ADsin160°，∴AD＝2cos10°.5.(2012·厦门质检)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ＝()A.32B．2－3C.3－1D.22[答案]C[解析]在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝AB·sin∠BACsin∠ACB＝100sin15°sin45°－15°＝50(6－2)，在△BCD中，sin∠BDC＝BC·sin∠CBDCD＝506－2·sin45°50＝3－1.由题图知，cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝3－1.6．如图，海岸线上有相距5nmile的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距32nmile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5nmile的C处，则两艘轮船之间的距离为()A．5nmileB．23nmileC.13nmileD．32nmile[答案]C[解析]连接AC，∠ABC＝60°，BC＝AB＝5，则AC＝5.在△ACD中，AD＝32，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝13.7．在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m．()A．237B．227C．247D．257[答案]A[解析]解法1：如图，∠D＝45°，∠ACB＝60°，DC＝100，∠DAC＝15°，∵AC＝DC·sin45°sin15°，∴AB＝AC·sin60°＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.解法2：在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝BD，∴BC＝AB－100.在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴ABAB－100＝3，∴AB＝150＋503≈237.二、填空题8．(2014·镇江月考)一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.[答案]302[解析]如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在三角形AMB中，由正弦定理得60sin45°＝BMsin30°，解得BM＝302(km)．9．在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为________．[答案]32[解析]由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ＝QR，不妨设其长度为1.在Rt△POQ中，OQ＝sin∠OPQ，OP＝cos∠OPQ，在△OPR中，由正弦定理得2sin120°＝OPsin∠ORP，在△ORQ中，1sin30°＝OQsin∠ORQ，两式两边同时相除得OQOP＝tan∠OPQ＝32.三、解答题10．港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31nmile，该轮船从B处沿正西方向航行20nmile后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21nmile，问此时轮船离港口A还有多远？[解析]在△BDC中，由余弦定理知，cos∠CDB＝BD2＋CD2－BC22BD·CD＝－17，∴sin∠CDB＝437.∴sin∠ACD＝sin(∠CDB－π3)＝sin∠CDBcosπ3－cos∠CDBsinπ3＝5314.在△ACD中，由正弦定理知ADsin∠ACD＝CDsinA⇒AD＝5314×21÷32＝15(nmile)．∴此时轮船距港口还有15nmile.能力拓展提升一、选择题11．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()A．103mB．1003mC．2030mD．30m[答案]A[解析]设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝103，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝300，∴BC＝103.12．(2012·湖南文，8)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D.3＋394[答案]B[解析]在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即7＝AB2＋4－2×2AB×12，AB2－2AB－3＝0，∴AB＝3或AB＝－1(舍去)，则BC边上的高AD＝ABsinB＝3×sin60°＝332.二、填空题13．(2012·重庆理，13)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝________.[答案]145[解析]由已知sinA＝45，sinB＝1213.∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理csinC＝bsinB，∴c＝bsinCsinB＝3×56651213＝145.14.(2013·湖北八市联考)如图所示，已知树顶A离地面212m，树上另一点B离地面112m，某人在离地面32m的C处看此树，则该人离此树________m时，看A，B的视角最大．[答案]6[解析]过C作CF⊥AB于点F，设∠ACB＝α，∠BCF＝β，由已知得AB＝212－112＝5(m)，BF＝112－32＝4(m)，AF＝212－32＝9(m)．则tan(α＋β)＝AFFC＝9FC，tanβ＝BFFC＝4FC，∴tanα＝[(α＋β)－β]＝tanα＋β－tanβ1＋tanα＋βtanβ＝9FC－4FC1＋36FC2＝5FC＋36FC≤52FC·36FC＝512.当且仅当FC＝36FC，即FC＝6时，tanα取得最大值，此时α取得最大值．三、解答题15．(2012·河北衡水中学调研)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α＝30°，沿倾斜角为β＝15°的斜坡向上走10m到B，在B处测得山顶P的仰角为γ＝60°，求山高h(单位：m)．[解析]在三角形ABP中，∠ABP＝180°－γ＋β，∠BPA＝180°－(α－β)－∠ABP＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.在△ABP中，根据正弦定理得APsin∠ABP＝ABsin∠APB，∴APsin180°－γ＋β＝10sinγ－α，∴AP＝10sinγ－βsinγ－α.又γ＝60°，α＝30°，β＝15°，∴山高为h＝APsinα＝10sinαsinγ－βsinγ－α＝52(m)．16．在海岛A上有一座海拔1km的山峰，山顶设有一个观察站P，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11：00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C处．(1)求船的航行速度；(2)求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离．[解析](1)设船速为xkm/h，则BC＝x6km.在Rt△PAB中，∠PBA与俯角相等为30°，∴AB＝1tan30°＝3.同理，Rt△PCA中，AC＝1tan60°＝33.在△ACB中，∠CAB＝15°＋45°＝60°，∴由余弦定理得BC＝32＋332－2×3×33cos60°＝213，∴x＝6×213＝221km/h，∴船的航行速度为221km/h.(2)作AD⊥BC于点D，连接PD，∴当航行驶到点D时，AD最小，从而PD最小．此时，AD＝AB·AC·sin60°BC＝3×33×32213＝3714.∴PD＝1＋37142＝25914.∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为25914km.考纲要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．补充说明1．解斜三角形应用题常见题型测量距离问题、测量高度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．根据实际问题构造三角形是应用的关键[例1]在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？[解析]如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝6，∵cos∠CBA＝BC2＋AB2－AC22BC·AB＝6＋3－12－426·3－1＝22，∴∠CBA＝45°，即B在C正东．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．[点评]本例关键是首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．备选习题1．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，AB两船距离为3km，则B到C的距离为()A.19kmB．(6－1)kmC．