走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题五

阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·浙江杜桥中学期中)已知向量a＝(1，m)，向量b＝(m,2)．若a∥b，则实数m等于()A．－2B.2C．±2D．0[答案]C[解析]∵a∥b，∴1×2－m2＝0，∴m＝±2.(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2[答案]D[解析]∵a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x－2)，a＋b与4b－2a平行，∴3(4x－2)－6(1＋x)＝0，∴x＝2.2．(2014·威海期中)已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，则|2a－b|＝()A．2B．4C．22D．8[答案]A[解析]由条件知|a|2＝1，|b|2＝4，a·b＝1，∴|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝4，∴|2a－b|＝2.3．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°[答案]C[解析]∵c⊥a，∴c·a＝(a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝0，∴a·b＝－1，即1×2×cos〈a，b〉＝－1，∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝120°.(理)(2014·营口三中期中)已知a＋b＋c＝0，且a与c的夹角为60°，|b|＝3|a|，则cos〈a，b〉等于()A.32B.22C．－12D．－32[答案]D[解析]设〈a，b〉＝α，∵|b|＝3|a|，∴|b|2＝3|a|2，a·b＝3|a|2cosα，a·c＝|a|·|c|·cos60°＝12|a|·|a＋b|.∵a·c＝－(a＋b)·a＝－|a|2－a·b＝－|a|2－3|a|2cosα，|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋3|a|2＋23|a|2cosα＝4|a|2＋23|a|2cosα，∴－|a|2－3|a|2cosα＝12|a|·4|a|2＋23|a|2cosα，∴－3cosα－1＝124＋23cosα，∴cosα＝－32，故选D.4．(2014·泸州市一诊)△ABC中，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝()A.13B.23C．－23D．－13[答案]B[解析]∵AD→＝2DB→，∴AD→＝23AB→＝23(CB→－CA→)，∴CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，∴λ＝23.5．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC中，D是BC的中点，AD＝3，点P在AD上且满足AD→＝3AP→，则DA→·(PB→＋PC→)＝()A．6B．－6C．－12D．12[答案]C[解析]∵AD＝3，AD→＝3AP→，∴|AD→|＝3，|AP→|＝1，∴|PD→|＝2，∵D为BC的中点，∴DA→·(PB→＋PC→)＝DA→·2PD→＝－2·|DA→|·|PD→|＝－12.(理)(2014·开滦二中期中)已知△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝43，点P为BC边所在直线上的一个动点，则AP→·(AB→＋AC→)满足()A．最大值为16B．最小值为4C．为定值8D．与P的位置有关[答案]C[解析]设BC边中点为D，〈AP→，AD→〉＝α，则|AD→|＝|AP→|·cosα，∵AB＝AC＝4，BC＝43，∴∠BAC＝120°，∴0°≤α≤60°，∴AP→·(AB→＋AC→)＝AP→·2AD→＝2|AP→|·|AD→|·cosα＝2|AD→|2＝8.6．(2014·辽宁师大附中期中)已知a，b是不共线的向量，AB→＝λa＋b，AC→＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1[答案]D[解析]∵A、B、C三点共线，∴AB→与AC→共线，∴存在实数k，使得AB→＝kAC→，即λa＋b＝k(a＋μb)，∵a、b不共线，∴λ＝k，1＝kμ，∴λμ＝1，故选D.7．(2014·抚顺二中期中)已知向量a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a－b与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°[答案]C[解析]解法1：∵a－b＝(cos75°－cos15°，sin75°－sin15°)，∴|a－b|2＝(cos75°－cos15°)2＋(sin75°－sin15°)2＝2－2(cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝2－2cos60°＝1，∴|a－b|＝1，又b＝1，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°－1＝cos60°－1＝－12，∴cos〈a－b，b〉＝a－b·b|a－b|·|b|＝－121×1＝－12，∴〈a－b，b〉＝120°.解法2：作单位圆如图，∠AOx＝75°，∠BOx＝15°，则OA→＝a，OB→＝b，BA→＝OA→－OB→＝a－b，∴△AOB为正三角形，∴∠ABO＝60°，从而OB→与BA→所成的角为120°，即b与a－b所成的角为120°.[点评]数形结合解答本题显得特别简捷．8．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知在△ABC中，AR→＝2RB→，CP→＝2PR→，若AP→＝mAB→＋nAC→，则m＋n＝()A．1B.89C.79D.23[答案]C[解析]∵AR→＝2RB→，CP→＝2PR→，∴AR→＝23AB→，RP→＝－13CR→，∴AP→＝AR→＋RP→＝AR→－13CR→＝AR→－13(CA→＋AR→)＝23AR→＋13AC→＝49AB→＋13AC→，∴m＋n＝79.9．(文)(2014·营口三中期中)已知点G是△ABC的重心，AG→＝λAB→＋μAC→(λ、μ∈R)，若∠A＝120°，AB→·AC→＝－2，则|AG→|的最小值是()A.33B.22C.23D.34[答案]C[解析]设D为△ABC的边BC的中点，AG→＝23AD→＝23·12(AB→＋AC→＝13AB→＋13AC→，∴λ＝μ＝13，∵∠A＝120°，AB→·AC→＝－2，∴|AB→|·|AC→|＝4，∴|AG→|2＝19(|AB→|2＋|AC→|2－4)≥19×(2|AB→|·|AC→|－4)＝49，∴|AG→|≥23.(理)(2014·哈六中期中)已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝45°，AD＝2，AB＝2，BC＝1，P是边AB所在直线上的动点，则|PC→＋2PD→|的最小值为()A．2B．4C.522D.252[答案]C[解析]∵AB＝2，BC＝1，∠BAC＝45°，∴AB·sin∠BAC＝BC，∴AC⊥BC，以C为原点直线BC与AC分别为x轴、y轴建立直角坐标系如图，则C(0,0)，B(－1,0)，A(0,1)，D(2,1)，∵P在直线AB：y－x＝1上，∴设P(x0,1＋x0)，则PC→＋2PD→＝(－x0，－1－x0)＋2(2－x0，－x0)＝(4－3x0，－1－3x0)，∴|PC→＋2PD→|2＝(4－3x0)2＋(－1－3x0)2＝18x20－18x0＋17＝18(x0－12)2＋252，∴当x0＝12时，|PC→＋2PD→|min＝522，故选C.10．(文)(2014·河南淇县一中模拟)已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为()A．－2B．－8116C．1D．0[答案]A[解析]由条件知，A1(－1,0)，F2(2,0)，∵P在双曲线右支上，∴P在上半支与下半支上结论相同，设P(x0，3x20－3)，x0≥1，∴PA1→·PF2→＝(－1－x0，－3x20－3)·(2－x0，－3x20－3)＝(－1－x0)(2－x0)＋(3x20－3)＝4x20－x0－5＝4(x0－18)2－8116，∴当x0＝1时，(PA1→·PF2→)min＝－2，故选A.(理)(2014·浙江省五校联考)已知A、B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB＝120°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→(0λ1)，则CM→·CN→的取值范围是()A．[－12，1)B．[－1,1)C．[－34，0)D．[－1,0)[答案]C[解析]以直线MN为x轴，单位圆的圆心O为原点建立直角坐标系，则M(－1,0)，N(1,0)，∴OM→·ON→＝－1，∵OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→，(0λ1)，∴BC→＝λBA→(0λ1)，∴C在线段AB上(不包括端点)，∵OA＝OB＝1，∠AOB＝120°，∴|OC→|∈[12，1)，∴CM→·CN→＝(CO→＋OM→)·(CO→＋ON→)＝|CO→|2＋CO→·(OM→＋ON→)＋OM→·ON→＝|CO→|2－1∈[－34，0)．11．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，平面内的两个单位向量OA→，OB→，它们的夹角是60°，OC→与OA→、OB→向量的夹角都为30°，且|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→，则λ＋μ的值为()A．2B．4C．23D．43[答案]B[解析]以OA、OB为邻边作▱OADB，∵OA＝1，OB＝1，∠AOB＝60°，∴OD＝3，∵OC→与OA→、OB→的夹角都为30°，∴OD→与OC→共线，∴OC→＝2OD→＝2OA→＋2OB→，∴λ＝μ＝2，λ＋μ＝4.12．(2014·枣庄市期中)如图，OA→，OB→分别为x轴，y轴非负半轴上的单位向量，点C在x轴上且在点A的右侧，D、E分别为△ABC的边AB、BC上的点．若OE→与OA→＋OB→共线.DE→与OA→共线，则OD→·BC→的值为()A．－1B．0C．1D．2[答案]B[解析]由条件设OE→＝λ(OA→＋OB→)，DE→＝μOA→，∴OE→＝(λ，λ)，DE→＝(μ，0)，∴OD→＝OE→＋ED→＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，BC→＝(x0，－1)，x01，∵BD→与BA→共线，BD→＝OD→－OB→＝(λ－μ，λ－1)，BA→＝OA→－OB→＝(1，－1)，∴λ－μ1＝λ－1－1，∴2λ－μ＝1，∵BE→与BC→共线，BE→＝OE→－OB→＝(λ，λ－1)，∴x0λ＝－1λ－1，∴x0＝λ1－λ.∴OD→·BC→＝(λ－μ)x0－λ＝λ－μλ1－λ－λ＝1－λ·λ1－λ－λ＝0.故选B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是________．[答案]－2[解析]∵a与b的方向相反，∴存在k0，使a＝kb，∴x＝4k，kx＝1，∴x2＝4，∵k0，∴x＝－2.(理)(2014·江西临川十中期中)若非零向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝________.[答案]0[解析]∵a∥b，∴存在实数λ，使b＝λa，又a⊥c，∴a·c＝0，∴c·(a＋2b)＝c·(a＋2λa)＝(1＋2λ)a·c＝0.14．(文)(2014·辽宁师大附中期中)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．[答案]－17[解析]∵λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)，由条件知(λa＋b)·(a－2b)＝3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.(理)(2014·浙江杜桥中学期中)已知a⊥b，|a|＝1，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．[答案]2[解析]∵a