走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学10-9

基础巩固强化一、选择题1．(2013·湖州模拟)一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n把钥匙依次分给n名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为()A．1B．nC.n＋12D.n－12[答案]C[解析]这把可以打工柜门的钥匙排在任何一个位置都是等可能的，概率为1n，设试开次数为ξ，则E(ξ)＝(1＋2＋…＋n)·1n＝n＋12.2．(2013·广州一模)已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6[答案]B[解析]∵X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2.4.3．(2013·白山联考)设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a的值为()A．4B．6C．8D．10[答案]A[解析]∵X～N(1,52)，P(X≤0)＝P(X≥a－2)，∴a－2＋02＝1，∴a＝4.4．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利()A．39元B．37元C．20元D.1003元[答案]B[解析]ξ的分布列为ξ5030－20p0.60.30.1∴E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37(元)，故选B.5．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B(10，p)，若E(ξ)＝8，则D(η)＝()A．0.5B．0.8C．0.2D．0.4[答案]D[解析]∵E(ξ)＝10p＝8，∴p＝0.8，∴D(ξ)＝10p(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6，又D(ξ)＝D(2η－1)＝4D(η)，∴D(η)＝0.4.6．(2013·深圳调研)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12B.512C.14D.16[答案]B[解析]P＝23×1－34＋1－23×34＝512二、填空题7．抛掷一枚均匀的正方体骰子，观察出现的点数，如果出现了5点或6点，则称“抛掷高效”，若“抛掷高效”则得1分，否则得0分，则抛掷一次得分的期望为________．[答案]13[解析]由题意P(ξ＝0)＝23，P(ξ＝1)＝13，∴E(ξ)＝0×23＋1×13＝13.8．如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，且D(ξ)＝2，则E(pξ－D(ξ))＝________.[答案]0[解析]∵ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，∴np＝4，又∵D(ξ)＝2，∴np(1－p)＝2，∴p＝12，∴E(pξ－D(ξ))＝E(12ξ－2)＝12E(ξ)－2＝0.9．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、4个白球和2个黑球，先从甲罐中任意取出一球放入乙罐，再从乙罐中取出一球，则从乙罐中取出的球是白球的概率为________．[答案]2155[解析]设从甲罐中取出红球、白球、黑球的事件分别为A1、A2、A3，设从乙罐中取出白球的事件为B，则P(A1)＝12，P(A2)＝15，P(A3)＝310，所求概率P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝12×411＋15×511＋310×411＝2155.三、解答题10．(2013·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次．在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为910或13.(1)如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？(2)求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．[解析](1)法一：设选手甲在A区投两次篮的进球数为X，则X～B(2，910)，故E(X)＝2×910＝95，则选手甲在A区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设选手甲在B区投三次篮的进球数为Y，则Y～B(3，13)，故E(Y)＝3×13＝1，则选手甲在B区投篮得分的期望为3×1＝3.∵3.63，∴选手甲应该选择在A区投篮．法二：设选手甲在A区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,2,4，P(ξ＝0)＝(1－910)2＝1100，P(ξ＝2)＝C12×910×(1－910)＝18100，P(ξ＝4)＝(910)2＝81100.所以ξ的分布列为：ξ024P11001810081100∴E(ξ)＝0×1100＋2×18100＋4×81100＝3.6.同理，设选手甲在B区域投篮的得分为η，则η的可能取值为0,3,6,9，P(η＝0)＝(1－13)3＝827，P(η＝3)＝C13×13×(1－13)2＝49，P(η＝6)＝C23×(13)2(1－13)＝29，P(η＝9)＝(13)3＝127.所以η的分布列为：ξ0369P8274929127∴E(η)＝0×827＋3×49＋6×29＋9×127＝3.∵E(ξ)E(η)，∴选手甲应该选择在A区投篮．(2)设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为事件C，甲在A区投篮得2分、在B区投篮得0分为事件C1，甲在A区投篮得4分、在B区投篮得0分为事件C2，甲在A区投篮得4分、在B区投篮得3分为事件C3，则C＝C1∪C2∪C3，其中C1，C2，C3为互斥事件．则：P(C)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝18100×827＋81100×827＋81100×49＝4975，故选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为4975.能力拓展提升11.(2013·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[解析](1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P(ξ＝6)＝126200＝0.63，P(ξ＝2)＝50200＝0.25，P(ξ＝1)＝20200＝0.1，P(ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为ξ621－2P0.630.250.10.02(2)1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x.由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.12．(2012·湖北理，20)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300≤X700700≤X900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300、700、900的概率分别为0.3、0.7、0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．[分析](1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列，再求均值与方差．(2)利用条件概率公式求解．[解析](1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)＝0.3，P(300≤X700)＝P(X700)－P(X300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X900)＝P(X900)－P(X700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X300)＝0.7，又P(300≤X900)＝P(X900)－P(X300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X900|X≥300)＝P300≤x900PX≥300＝0.60.7＝67.故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.13．(2013·四川理，18)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)乙的频数统计表(部分)当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．[解析](1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整中数随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝12；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝13；当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝16.所以，输出y的值为1的概率为12，输出y的值为2的概率为13，输出y的值为3的概率为16.(2)当n＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C03×(13)0×(23)3＝827，P(ξ＝1)＝C13×(13)1×(23)2＝49，P(ξ＝2)＝C23×(13)2×(23)1＝29，P(ξ＝3)＝C33×(13)3×(23)0＝127，故ξ的分布列为ξ0123P8274929127所以，Eξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.14．某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女学生；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；(2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；(3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．[解析](1)因为数学兴趣小组人数：英语兴趣小组人数＝＝，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人，则抽取数学小组的人数为2人，英语小组的人数为1人．(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率P＝C16·C14C210＝815.(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝C24C210·35＝225；P(ξ＝1)＝C16·C14C210·35＋C24C210·25＝2875；P(ξ＝2)＝C26C210·35＋C16·C14C210·25＝3175；P(ξ＝3