赵坚顾静相微积分初步第二章导数与微分讲义

12013下微积分初步第二讲时间：2013年10月16日星期三晚上6：30——8：30时第二章导数与微分一、导数的定义1、导数：设函数)(xfy在点0x的某个邻域内有定义，当自变量x在点0x处取得改变量x(0)时，函数y取得相应的改变量)()(00xfxxfy若当0x时，两个改变量之比xy的极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在，则称函数)(xfy在点0x处可导，并称此极限值为函数)(xfy在点0x处的导数，记为)(0xf，0xxy，0xxdxdf，0xxdxdy即：)(0xfxxfxxfxyxx)()(limlim0000左导数、右导数2、导数的几何意义：函数)(xfy在点0x处的导数)(0xf就是曲线)(xfy在点))(,(00xfx处切线的斜率。3、可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。4、微分：dxxfdy)(二、导数公式与求导法则（一）基本求导公式0)(c1)(xxaaaxxln)(xxee)(2xx1)(lnaxxaln1)(logxxcos)(sinxxsin)(cosxx2sec)(tanxx2csc)(cot（二）导数的运算法则1、导数的四则运算法则vuvu)(vuvuuv)(2)(vvuvuvu2、复合函数求导：若)(ufy，)(xu，则dxdududydxdy3、隐函数求导三、高阶导数连续两次或两次以上对某个函数求导数，所得的结果称为这个函数的高阶导数。第三章导数应用一、函数的单调性定理3.1（P.66）设函数)(xfy在区间],[ba上连续，在区间),(ba内可导，（1）如果),(bax时，0)(xf，则)(xf在],[ba上单调增加；（2）如果),(bax时，0)(xf，则)(xf在],[ba上单调减少。单调区间二、函数极值1、函数的极值及其求法定义3.1（课本P.68）极值的定义设函数)(xf在点0x的邻域内有定义，如果对该邻域内的任意一点)(0xxx，恒有)()(0xfxf，则称)(0xf为函数)(xf的极大值，称0x为函数)(xf的极大值点；如果对该邻域内的任意一点)(0xxx，恒有)()(0xfxf，则称)(0xf为函数)(xf3的极小值，称0x为函数)(xf的极小值点。极大值与极小值统称极值。定理3.2（课本P.69）如果点0x是函数)(xf的极值点，且)(0xf存在，则)(0xf0，使)(0xf0的点，称为函数)(xf的驻点。定理3.3（课本P.69）极值存在的充分条件，也叫极值存在第一判别法。极值的求法：①确定函数)(xf的定义域，并求其导数)(xf；②解方程0)(xf，求出)(xf的所有的驻点；③找出)(xf的连续但导数不存在的所有的点；④讨论)(xf在可能取得极值的点的左右两侧附近符号变化的情况，确定函数的极值点；⑤求出极值。定理3.4（课本P.72）极值存在第二判别法。设函数)(xf在点0x处具有二阶导数，且0)(0xf，0)(0xf（1）如果0)(0xf，那么0x是)(xf的极大值点，)(0xf是)(xf的极大值；（2）如果0)(0xf，那么0x是)(xf的极小值点，)(0xf是)(xf的极小值。若0)(0xf，那么该驻点是否为极值点需用第一判别法来判断。2、最大值、最小值及其求法连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值。连续函数的最大值和最小值只可能在以下几种点取得：（1）驻点；（2）导数不存在的点；（3）端点4因此，求连续函数)(xf在闭区间],[ba上的最大值和最小值，只需分别求出)(xf在其驻点、导数不存在的点以及端点a，b处的函数值，这些函数值中的最大者就是函数在],[ba上的最大值，最小者就是函数在],[ba上的最小值。微积分初步作业2解答一、填空题（每小题2分，共20分）1．曲线1)(xxf在)2,1(点的斜率是．解：xxf21)(，斜率21)1(fk2．曲线xxfe)(在)1,0(点的切线方程是．解：xexf)(，斜率1)0(0efk所以曲线xxfe)(在)1,0(点的切线方程是：1xy3．曲线21xy在点)1,1(处的切线方程是．解：2321xy，斜率21211231xxxyk所以曲线21xy在点)1,1(处的切线方程是：)1(211xy即：032yx4．)2(x．解：)2(xxxxx22ln22ln2125．若y=x(x–1)(x–2)(x–3)，则y(0)=．解：6)3)(2)(1()0(y6．已知xxxf3)(3，则)3(f=．解：3ln33)(2xxxf，)3(f3ln272757．已知xxfln)(，则)(xf=．解：xxf1)(，21)(xxf8．若xxxfe)(，则)0(f．解：xxxeexf)(，xxxxxxeexeeexf2)()()0(f29．函数yx312()的单调增加区间是．解：0)1(6xy，1x所以函数yx312()的单调增加区间是),1[10．函数1)(2axxf在区间),0(内单调增加，则a应满足．解：02)(axxf，而0x，所以0a二、单项选择题（每小题2分，共24分）1．函数2)1(xy在区间)2,2(是（）A．单调增加B．单调减少C．先增后减D．先减后增解：)1(2xy当)1,2(x时，)1(2xy0，这时函数2)1(xy单调减少当)2,1(x时，)1(2xy0，这时函数2)1(xy单调增加所以函数2)1(xy是先减后增的应选D2．满足方程0)(xf的点一定是函数)(xfy的（）.A．极值点B．最值点C．驻点D．间断点答：应选C3．若xxfxcose)(，则)0(f=（）．A.2B.1C.-1D.–26解：)sin(cossincos)(xxexexexfxxx)0(f1应选C4．设yxlg2，则dy（）．A．12dxxB．1dxxln10C．ln10xxdD．1dxx解：yxlg210ln2lnx10ln12210ln1xxydy1dxxln10应选B5．设)(xfy是可微函数，则)2(cosdxf（）．A．xxfd)2(cos2B．xxxfd22sin)2(cosC．xxxfd2sin)2(cos2D．xxxfd22sin)2(cos解：应选D6．曲线1e2xy在2x处切线的斜率是（）．A．4eB．2eC．42eD．2解：xey22曲线1e2xy在2x处切线的斜率422222eeykxxx应选C7．若xxxfcos)(，则)(xf（）．A．xxxsincosB．xxxsincosC．xxxcossin2D．xxxcossin2解：xxxxfsincos)()(xfxxxxxxxcossin2)cos(sinsin应选C8．若3sin)(axxf，其中a是常数，则)(xf（）．A．23cosaxB．ax6sinC．xsinD．xcos解：xxfcos)()(xfxsin7应选C9．下列结论中（）不正确．A．)(xf在0xx处连续，则一定在0x处可微.B．)(xf在0xx处不连续，则一定在0x处不可导.C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D．若)(xf在[a，b]内恒有0)(xf，则在[a，b]内函数是单调下降的.答：应选A10．若函数f(x)在点x0处可导，则()是错误的．A．函数f(x)在点x0处有定义B．Axfxx)(lim0，但)(0xfAC．函数f(x)在点x0处连续D．函数f(x)在点x0处可微答：应选B11．下列函数在指定区间(,)上单调减少的是（）．A．sinxB．exC．x2D．3–x答：应选D12.下列结论正确的有（）．A．x0是f(x)的极值点，且f(x0)存在，则必有f(x0)=0B．x0是f(x)的极值点，则x0必是f(x)的驻点C．若f(x0)=0，则x0必是f(x)的极值点D．使)(xf不存在的点x0，一定是f(x)的极值点答：应选A三、解答题（每小题7分，共56分）⒈设3223xxy，求y．解：22)32(5)32()23(2)32(3xxxxy2．设xxy2cos，求y.解：2ln2sin212ln221)sin(xxxxxxy3．设xeyx2sin1，求dy解：xxexxxxey122112cos22cos2)1(8dxexxdxydyx)12cos2(124．设xxxycosln，求dy.解：xxxxxytan23cossin23dxxxdxydy)tan23(5．设xxxy1)1sin(2，求y解：2222)1()1cos(221)1(2)1cos(xxxxxxxxxxxy6．设)(xyy是由方程422xyyx确定的隐函数，求yd.解：两边微分：0)(22xdyydxydyxdxxdxydxxdyydy22dxxyxydy227．设)(xyy是由方程4ee2xxyx确定的隐函数，求yd.解：两边微分，得：02xdxdyxedxedxeyyxdxxeedyxeyxy)2(，dxxexeedyyyx28．设)(xyy是由方程1e)cos(yyx确定的隐函数，求yd．解：两边对1e)cos(yyx求导，得：0)sin()1(yeyyxy0)sin()sin(yeyyxyyx)sin()]sin([yxyyxey)sin()sin(yxeyxyydxyxeyxdxydyy)sin()sin(