超市中的数学问题张艳清

超市中的数学问题学校：玉溪师范学院专业：数学与应用数学姓名：张艳清学号:2010011219组号：第5小组指导老师：蔡炯辉【摘要】心理学家皮亚杰曾说过：“一切真理都要学生自己获得或者由他重新发现，至少由他重建，而不是简单地传递给学生。”《数学教学大纲》中指出：“教学过程中，教师要充分发挥创造性，依据学生的年龄特征和认知水平，设计探索性和开放性的问题，给学生提供自主探索的机会。让学生在观察、操作、讨论、交流、猜测、归纳、分析和整理的过程中，理解数学问题的提出、数学概念的形成和数学结论的获得，以及数学知识的应用。”每个人都有获得成功的需求和愿望，学生有巨大的智力发展潜在力，要相信每一个学生都是数学家，教师在教学过程中，要大胆放手让学生去探索数学，发现数学，实现从被动地“听”数学向主动地“做”数学的转变。【关键词】圆柱体圆锥体超市前言：数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。大多数学生在学习数学的过程中都感觉到困难，有部分学生因为数学难学而开始厌倦数学。为了增强学生学习数学的趣味性，培养学生的观察、思考及应用能力，让学生深刻体会数学源于生活，生活中处处有数学，人们的日常生活离不开数学，学习数学是为了解决生活中的实际问题的。正文：走进玉溪师范学院教育超市，面对琳琅满目的商品，你想到了什么？从这些商品中，你会发现哪些数学问题呢？1.长方体和圆柱体教育超市有好多用盒子装的商品，它们分为两大类：长方体（如：牙膏、香皂、盒装牛奶、装火腿肠的无盖盒子等。）和圆柱体（如：易拉罐、瓶装油卤腐、圆筒装艾比利薯片等）。商家设计不同的包装盒有不同的目的，有的为了美观，有点为了商品包装方便等。看到这些形状各异的商品，你想到了什么呢？问题：在底面积和高相等的情形下，圆柱体和长方体的表面积之间有什么样的关系呢？带着疑问，下面我们运用数学知识来论证它们之间的关系：如图1、图2所示，长方体的底面是一个边长为a的正方形，高为h，则长方体和圆柱体的底面积均为a2,体积均为ha2，下面我们来讨论它们各自的表面积。图1图2正方体的表面积：S长方体=2S底面积+S侧面积=2a2+4ah圆柱体的表面积：S圆柱体=2S底面积+S侧面积≈2a2+3.544ah由此，我们可以看出，在底面积和高都相等（体积相等）的情形下，S长方体S圆柱体。即：体积相等的长方体的表面积大于圆柱体的表面积。据此，我们知道，相同体积的长方体和圆柱体，圆柱体的表面积比长方体的表面积小。商家在选择包装盒的形状的时候，他们会考虑到包装纸的费用，在容积一定的情形下，圆柱体的表面积小于长方体的表面积，所以很多商品的包装盒都是圆柱体的，而且圆柱体的包装看上去比较美观。图3由图3我们可以看出，在高相等的情形下，边长为a的正方体和直径为a的圆柱体，正方体的占地面积大于圆柱体的占地面积。因此，在货架有限的条件下，选择用圆柱体的包装盒既美观，又节约货架面积。《圆柱的体积》教学案例一、创设情境，导入新课。1.教师向同学们展示一个正方体和一个长方体，说说怎样求他们的体积？接着教师向正方体容器中倒入一定量的水，然后拿出一个圆柱体投入水中让学生观察：有什么现象？由这个发现，你想到了些什么？2.提问：你能用自己的话说说什么是圆柱体的体积吗？小组讨论。（教师板书课题）。二、自主探究，学习新知。（一）设疑1、从刚才的实验中，你能用什么方法来得到这个圆柱体的体积吗？2、如果要求汽油桶的体积，还能用刚才的方法吗？（这与学生的认知产生冲突）教师提问：看来，我们刚才的方法有一定的局限性。那么，能不能像正方体和长方体那样，可以找到一个计算圆柱体体积的公式。（二）猜想1、猜想一下圆柱的体积大小可能与什么有关？你的理由是什么？2、大家再来大胆猜测一下，圆柱的体积公式可能是什么?你的理由是什么？（三）验证1、为了证实刚才的猜想，我们可以通过实验来验证。怎样进行这个实验呢？结合我们以往学习几何图形的经验，说说自己的想法。2、圆柱能转化成我们学过的什么图形呢？它又是怎么转化成这种图形的?（小组讨论交流想法）3、教师用课件演示圆柱转化成长方体的过程。并引导学生分析当分的份数越多时，拼成的图形越接近长方体。4、通过上面的观察小组讨论：(1)圆柱体通过切拼后，转化为近似的长方体，什么变了？什么没变？(2)长方体的底面积与原来圆柱体的哪部分有关系？有什么关系？(3)长方体的高与原来圆柱体的哪部分有关系？有什么关系？(4)你认为圆柱的体积可以怎样计算？（学生汇报交流，教师根据学生讲述适时板书。）小结：把圆柱体转化成长方体后，形状变了，体积不变，长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高，因为长方体的体积等于底面积×高，所以圆柱体的体积也等于底面积×高，用字母表示是V=Sh。5、做一做：一根圆形木料，底面积为75cm，长是90cm。它的体积是多少？（学生展示计算结果，教师及时评价）6、求圆柱体积应具备什么条件？7、思考：如果只知道圆柱的底面半径和高，你有办法求出圆柱的体积吗？如果是底面直径和高，或是底面周长和高呢？（学生讨论交流结论）小结：可以根据已知条件先求出圆柱的底面积，再求出圆柱的体积。8、练一练：列式计算，求下列各圆柱体的体积。（1）底面半径2cm，高5cm。（2）底面直径6cm，高1cm。（3）底面周长8cm，高4cm。三、练习巩固，拓展提升。1、学校种榕树的一个花坛，测得花坛内直径为4m，花坛内填土高度为0.5m，算一算这个花坛内一共要填土多少立方米？2、生日到了，在一个棱长为20cm的正方体纸盒中，放一个最大的圆柱体蛋糕，系上180cm长的丝带（打结部分忽略不计），那么这个蛋糕的体积是多少呢？四、课后小结通过这节课的学习，你有什么感受和收获？五、教学反思：《新课程标准》指出：要创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，让学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐步体会数学知识的产生、形成与发展的过程，获得积极的情感体验，感受数学的力量，同时掌握必要的基础知识与基本技能。圆柱的体积是几何知识的综合运用，它是在学生了解了圆柱的特征、掌握了长方体和正方体体积以及圆的面积计算公式推导过程的基础上进行教学的。由于圆柱是一种含有曲面的几何体，这给体积的认识和计算增加了难度。为了降低学习难度，让学生更好地理解和掌握圆柱体积的计算方法，为后面学习圆锥体积打下坚实的基础。因此，本节课的教学设计注重从生活情境入手，让学生经历圆柱体积的探究过程，通过一系列的数学活动，培养学生探究数学知识的能力和方法，同时在学习活动中体验学习的乐趣2、圆锥体教育超市圆柱体的商品并不多，其中，蒙牛蛋卷就是圆锥形的。那么，商家为什么要把蒙牛蛋卷设计为圆锥体，而不是圆柱体或其他几何体呢？是因为圆锥体的外观漂亮吗？还是因为别的什么？问题：底面积和高相等的圆柱体和圆锥体的体积有什么样的关系呢？它们相等吗？下面，我们就运用数学知识来论证一下它们之间的关系：如图4和图5所示，圆柱体和圆锥体的底面半径均为r，它们的高均为h，由此，我们来计算它们的体积：图4图5圆柱体的体积：V圆柱体=sh圆锥体的体积：V圆锥体=31sh由此，我们可以知道，底面积和高相等的圆锥体的体积圆锥体的体积。并且，圆锥体的体积等于31圆柱体的体积。据此，我们知道商家为什么要把冰淇淋做成圆锥体而不是圆柱体。圆锥体的体积是圆柱体体积的31倍，这样做可以降低做冰淇淋的成本，而且圆锥体相对于圆柱体比较美观。图6清楚的表示出了底面积和高相等的圆柱体和圆锥体的体积之间的关系。图6《圆锥体的体积》教学案例一、创设情境，导入新课1、同学们：今天老师这里有一个问题需要你们帮忙解决：在一个炎热的中午，小明和爸爸去商店买冰淇淋。商店里的冰淇淋形状各异，有长方体的、正方体的、圆柱体的和圆锥体的。小明对圆柱体和圆锥体的冰淇淋产生了兴趣，他便拿着去问售货员阿姨。售货员告诉小明：“圆柱形的5元一个，圆锥形的1.5元一个。”这时，小明不知道应该买哪个既经济又实惠？你能给小明一个意见吗？2、提出问题：同学们，为了帮助小明解决他现在面临的问题，我们今天要来探索圆锥的体积。怎样求圆锥的体积呢？（教师板书课题）二、自主探究，学习新知1、提出问题：同学们，前面我们学习圆柱体的体积积的公式是由长方体的体积公式转换而来的。那么，我们求圆锥的体积可不可以由哪个几何体来转换呢？（思考几分钟）2、实验探究：老师适当引导学生，我们是否可以由圆柱体的体积公式来推导圆锥的体积公式呢？下面我们分小组来做一个实验。同学们手中有一个等底等高的圆柱体、圆锥体和一堆沙子。现在我们用圆锥体装满沙子注入圆柱体中，大家数一数，要重复几次这样的动作才能把圆柱体装满？3、小组讨论交流，各小组长反馈意见。4、老师小结：通过大家的努力，我们发现，用等底等高的圆锥体装满沙子注入圆柱体中3次可以把圆柱体装满。由此，我们得出结论，等底等高的圆柱体和圆锥体之间的关系是：V圆锥体=31V圆柱体=31sh5、解决问题：下面我们来给以小明意见。3V圆锥体=V圆柱体即3个圆锥形的冰淇淋的体积相当于一个圆柱形的冰淇淋的体积。而一个圆柱形的冰淇淋5元，一个圆锥形的冰淇淋1.5元，则3个圆锥形的冰淇淋的价格是：1.53=4.5元。小明应该买圆锥形的冰淇淋既经济又实惠。三、练习巩固，拓展提升1、工地上有一些沙子，堆起来近似一个圆锥，测得底面直径是4米，高是1.2米，这堆沙子大约多少立方米？2、一个等底等高的圆柱体的体积是18m3，问：像这样的等底等高的圆锥体的体积是多少？四、课后小结：这节课我们学习了什么？你有什么收获？五、教学反思：兴趣是最好的老师。在创设情境中，我用日常生活中的例子，让学生感受数学来源于生活，激发学生学习数学的兴趣，培养学生探索数学的精神。旧知识是新知识的基础，任何知识都是建立在已有知识的基础之上的。在实验的过程中，培养了学生的观察能力、动手操作能力，让学生在动手动脑的同时，学会相互合作、交流。总之，在激发学生兴趣的同时，让学生经历了知识的获得过程，体会到成功的喜悦，培养了他们的思维，根据实际发展学生的空间思维。参考文献：刘影，程晓亮.《数学教学论》.北京：北京大学出版社，2009.22011年版/中华人民共和国教育部制定.——北京：北京师范大学出版社，2012.1数学教学论笔记.