现代控制工程-第7章最优控制

ModernControlEngineering第7章最优控制教材：王万良，现代控制工程，高等教育出版社，20112如果系统是状态完全能控的，则总可以设计一个状态反馈矩阵，使系统的闭环极点等于期望极点，以达到预期的动态特性要求。在实际控制问题中，常常希望在控制过程中使一些指标最小，或者最大。例如，控制过程中，要求系统消耗的能量最少、时间最少等，或者达到最大的产量、最好的经济效益等。最优控制是控制系统设计的一种方法，它研究的中心问题是如何选择控制信号，使控制系统的性能在某种意义上是最优的。下面首先介绍最优控制的概念，然后介绍用变分法求解最优控制问题的方法，和庞德里亚金的极小值原理，最后着重讨论线性二次型最优控制问题。第7章最优控制3第7章最优控制7.1最优控制的概念7.2变分法与泛函的极值条件7.3变分法求解无约束最优控制问题7.4极小值原理7.5线性二次型最优控制47.1最优控制的概念设系统的状态方程为),,(tuxfx最优性能指标fttffdtttutxLttxJ0]),(),([]),([所谓最优控制，就是要确定在中的最优控制，将系统的状态从转移到，或者的一个集合，并使性能指标最优。],[0ftt)(0tx)(ftx)(ftx最优控制问题从数学上看，就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题，可以用变分法求解。工程中很多控制问题的控制信号是受限制的，例如，任何系统中能够得到的燃料、电压、允许的温度等都是有限制的，不可能取任意大的值。控制信号受限的最优控制问题不能用变分法求解，而需要用庞德里亚金极小值原理或者贝尔曼的动态规划求解。51.泛函的概念如果对于自变量t，存在一类函数，对于每个函数，有一个值与之对应，则变量称为依赖于函数的泛函数，简称为泛函，记作。如果泛函满足下列关系，则泛函是线性泛函。7.2变分法与泛函的极值条件)}({tx)(txJJ)(tx)]([txJ)]([)]([)]()([)]([)]([tyJtxJtytxJtxaJtaxJ2.泛函的变分泛函的变量的变分，定义为，其中，为一标称函数（即最优控制中的最优轨线），为邻域内与属于同一函数类的某一函数。)]([txJ)(txx)()(*txtxx)(*tx)(tx)(*tx)(*tx67.2变分法与泛函的极值条件如果泛函的增量可以表示为)]([])([]),([txJxtxJxtxJxxtxxtxLxtxJ]),([]),([]),([其中，是的线性泛函，且当时，则线性泛函称为泛函的变分（一阶变分），记作。]),([xtxLx0x0]),([xtx]),([xtxL)]([txJJ由变分的定义可以看出，泛函的变分是一种线性映射，它的运算规则类似于函数的线性运算，有如下的变分规则：2121)(FFFF122121)(FFFFFFdttxxFdttxxF),,(),,(xdtdx73.泛函的极值若泛函在附近的任一曲线上的值不小于，即，则泛函在曲线上达到极小值。泛函在曲线上达到极小值的必要条件为（证明略）7.2变分法与泛函的极值条件)(*txx)](*[txJ0)](*[)]([txJtxJJ)(*txx)(*txx0)*()*,(0xxJddxxJ在实际问题中，泛函极值问题的最优轨线通常是受到各种约束的。例如，最优控制性能指标（7.2）中的u和x的选择，要满足状态方程（7.1），这是一个等式约束。在等式约束下的泛函极值问题，称为条件泛函极值问题。用拉格朗日乘子法将条件泛函极值问题转化为无约束条件极值问题。最优控制问题就是一类带有约束条件的条件泛函极值问题。8*7.3变分法求解无约束最优控制问题设系统的状态方程为]),(),([)(ttutxftx00)(xtxfttffdtttutxLttxJ0]),(),([]),([性能指标为上面的最优控制问题中，因为对控制变量没有约束，所以通常称为无约束最优控制问题。无约束最优控制问题是一个求有等式约束的泛函极值问题，可以用拉格朗日乘子法把有约束条件问题转化为无约束条件问题。构造增广泛函为fttTffadttxttutxfttutxLttxJ0)]}()),(),(([]),(),([{]),([构造哈密顿函数为),,(),,(),,,(tuxftuxLtuxHT则增广泛函为fttTffadtxtuxHttxJ0}),,,({]),([设初始时刻及其状态给定为。根据终端状态边界条件，可按以下几种情况讨论。0t00)(xtx9*7.3变分法求解无约束最优控制问题1.给定，终端自由，即任意ft)(ftx增广泛函为fttTfadtxtuxHtxJ0]),,,([)]([取一阶变分并令其为零，得0])()()[()(0ffttTTTTTttTadtxxHuuHxxHxxJ由于fffttTttTttTxdtxdtx0000])()()[()(0ffttTTTttTadtxHuuHxxHxxJ10*7.3变分法求解无约束最优控制问题最优控制问题（7.7），（7.8）取极值的必要条件为状态方程伴随方程控制方程横截条件),,,(tuxHxxtuxH),,,(0),,,(utuxH)()]([)(ffftxtxt联立求解上述正则方程和控制方程，就可求得性能指标达到极值时的最优控制、最优状态轨线及最优协态轨线。)(*tu)(*tx)(*t11*7.3变分法求解无约束最优控制问题例7.1已知系统的状态方程为)()(tutx初始条件为00)(xtx性能指标fttfdtutcxJ02221)(21min0c解本题为给定、终端自由的最优控制问题。由于控制变量不受约束，所以，可以用变分法求解。构造哈密顿函数为ftuutuxH221),,,(由伴随方程得0)21(2uuxxH因此，常数。由横截条件得)()](21[)()()]([)(2fffffftcxtcxtxtxtxt由控制方程得0uuH即)(*ftcxu代入状态方程，得)(ftcxux上面这个微分方程的解为)())(()(00txtttcxtxf12*7.3变分法求解无约束最优控制问题当时，有ftt)())(()(00txtttcxtxfff)(1)()(00ttctxtxff最优控制为)(1)()(*00ttctcxtcxuff最优性能指标为fttfdtutcxJ02221)(21)(1)(21)()](1[)(21)](1[)(210020200222002ttctcxttttctxcttctcxffff13*7.3变分法求解无约束最优控制问题2.给定，终端约束ft设终端约束为0)]([]),([ffftxMttxM构造增广泛函为fttTfTfadtxtuxftuxLtxMvtxJ0]}),,([),,({)]([)]([对增广泛函取一阶变分并令其为零，经过与上面类似的推导，得0])()()[()(0ffttTTTttTTadtxHuuHxxHxvxMxJ14*7.3变分法求解无约束最优控制问题最优控制问题（7.7），（7.8）取极值的必要条件为状态方程伴随方程控制方程横截条件),,,(tuxHxxtuxH),,,(0),,,(utuxH联立求解上述方程，就可求得性能指标达到极值时的最优控制、最优状态轨线及最优协态轨线。)(*tu)(*tx)(*tfttTfvxxMxxt]))(()([)(边界条件00)(xtx0)]([ftxM15*7.3变分法求解无约束最优控制问题例7.2已知系统初始条件为性能指标解本题为给定、终端受约束的最优控制问题。由于控制变量不受约束，所以，可以用变分法求解。构造哈密顿函数为ft由于)()(21txtx)()()(22tutxtx0)0(1x0)0(2x2022221)(21]2)2([21]5)2([21dttuxxJ终端约束条件为15)2(5)2(21xxuxuH22212)(212221]2)2([21]5)2([21xx015)2(5)2(21xxMHx)()(21txtx)()()(22tutxtx011xH11)(ct1222xH122)(cectt16所以*7.3变分法求解无约束最优控制问题02uuH122)()(cecttut123221)(cecectxtt4123121)(ctcecectxtt由初始条件得05.0432ccc05.0321ccc因为4122231221)2(ccececx12223221)2(cececx由横截条件得)()()()(111fffftvtxMtxt)()()()(222fffftvtxMtxt1115)2()2(cvx2212252)2()2(eccvx将和代入上式，得)2(1x)2(2x55.03432221vccecec255.1232221vcecec17*7.3变分法求解无约束最优控制问题求解以vcccc和4321,,,作为未知数的联立方程组05.0432ccc05.0321ccc15437432221ccecec55.03432221vccecec255.1232221vcecec可得73.01c13.02c则所求最优控制为)18.01(73.03.173.0)(*tteetu18*7.4极小值原理•利用变分法求解最优控制问题时，要使极值条件有意义，需要假定控制是不受约束的，其变分是任意的。因此，在无约束最优控制问题中，要求控制变量不受任何限制，但是，在实际控制工程中，控制变量往往受到一定限制。例如，电动机的转矩、阀门开度等都有上限。控制变量只能在某个有界的闭域里取值。•控制变量受到限制时的最优控制问题，通常称为有约束最优控制问题。对于有约束最优控制问题，不能应用变分法求解，而需要采用本节所介绍的极小值原理求解。•极小值原理是由前苏联学者庞德里亚金1956年提出的。由于极大和极小可以认为只差一个负号，所以庞德里亚金极小值原理又称为极大值原理。由于极小值原理是由变分法引申而来，因此，它的结论与变分法的结果有许多相似之处。但由于它能求解控制变量受到边界限制的最优控制问题，并且不要求哈密顿函数对控制量可微，所以获得了广泛的应用。19设系统的状态方程为7.4.1连续系统的极小值原理]),(),([)(ttutxftx不等式约束为0]),(),([ttutxG要求终端状态满足等式约束0]),([ffttxM性能指标为fttffdtttutxLttxJ0]),(),([]),([则最优控制、最优轨迹和最优伴随向量必须满足下列条件：设哈密顿函数为),,(),,(),,,(tuxftuxLtuxHT（1）沿最优轨线满足正则方程HxTxGxH)(（2）横截条件和边界条件fttTfvxMxt])([)(0])(),,,([f